Область сходимости. Поведение при $x\to 0$: $x^a/(1+x^2)\sim x^a$ => интегрируемо при $a>-1$. При $x\to \infty$: $x^a/(1+x^2)\sim x^{a-2}$ => интегрируемо при $a<1$. Итого интеграл сходится при
$-1<a<1$.
Вычисление. Положим $u=x^2$, тогда $dx=\frac{1}{2}{u}^{-1/2}du$ и
$$I(a)={\int }_0^{\infty }\frac{x^a}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{u^{(a-1)/2}}{1+u}du=\frac{1}{2}B(\frac{a+1}{2},\frac{1-a}{2}).$$ Так как $B(p,1-p)=\Gamma (p)\Gamma (1-p)=\frac{\pi }{\sin (\pi p)}$ для $0<p<1$, при $-1<a<1$ получаем
$$I(a)=\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{a+1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{1-a}{2}\right)=\frac{\pi }{2\sin \left(\frac{\pi (a+1)}{2}\right)}=\frac{\pi }{2\cos \left(\frac{\pi a}{2}\right)}.$$
Свойства как функции параметра. Для вещественного $a$ функция $I(a)$ непрерывна и даже аналитична (голо- морфна при рассмотрении комплексного параметра) в полосе $-1<\Re a<1$, где интеграл сходится абсолютно и задаёт голоморфную функцию по теореме о параметрическом интеграле. Формула выше даёт мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость с простыми полюсами в точках, где $\cos (\frac{\pi a}{2})=0$, т.е. при $a=1+2k$ (нечётные целые). Отметим также симметрию $I(a)=I(-a)$ (подстановка $x\mapsto 1/x$). На границе полосы $a\to \pm 1$ интеграл расходится (полюса в формуле).