Кратко: уравнение
$$x=a\cos x+b\sin x$$ решается графически для оценки числа/приближённого положения корней и численно — итерационно (метод простых итераций или его релаксация) либо методом Ньютона. Ниже — обоснование и критерии сходимости.
Общие замечания
- Обозначим $g(x)=a\cos x+b\sin x$ и радиус амплитуды $R=\sqrt{a^2+b^2}$. Так как $|g(x)|\le R$, любой корень удовлетворяет $|x|\le R$, значит все корни лежат в отрезке $[-R,R]$.
- Непрерывность $f(x)=x-g(x)$ и значения $f(-R)\le 0$, $f(R)\ge 0$ гарантируют существование по крайней мере одного корня на $[-R,R]$.
1) Графический метод
- Постройте графики $y=x$ и $y=g(x)$ на $[-R,R]$. Пересечения дают корни и их примерные начальные приближения.
- Плюсы: наглядно показывает число корней, даёт хорошие начальные приближения; полезен для выбора метода.
- Минусы: не даёт высокой точности; неудобен при автоматизации.
2) Метод простых итераций (Пикара)
- Прямая итерация:
$$x_{n+1}=g(x_n)=a\cos x_n+b\sin x_n.$$ - Критерий сходимости (глобальный и достаточный): если
$$\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|g^{\prime }(x)|=\underset{x}{\sup }|-a\sin x+b\cos x|=R<1,$$ то $g$ — сжимающее отображение на всей прямой, итерации сходятся к единственному фиксированному пункту для любого начального $x_0$. Скорость сходимости — линейная, оценка ошибки примерно $|x_{n+1}-x_{\ast }|\le R|x_n-x_{\ast }|$.
- Релаксация (усиление/ослабление):
$$x_{n+1}=(1-\lambda )x_n+\lambda g(x_n),0<\lambda \le 1.$$ Сходимость при выборе $\lambda$ обеспечивается, если
$$\underset{x}{\sup }|1-\lambda +\lambda g^{\prime }(x)|<1.$$ Подбор оптимального $\lambda$ может улучшить сходимость, особенно при $R$ близком к 1.
3) Метод Ньютона
- Функция для корня: $f(x)=x-g(x)=x-a\cos x-b\sin x$.
- Итерация:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}=x_n-\frac{x_n-a\cos x_n-b\sin x_n}{1+a\sin x_n-b\cos x_n}.$$ - Критерий сходимости (локальный): если $x_{\ast }$ — корень и $f^{\prime }(x_{\ast })\ne 0$ (т.е. $1+a\sin x_{\ast }-b\cos x_{\ast }\ne 0$), то при достаточно близком начальном приближении метод сходится квадратично. Теоретически можно применять теорему Канторовича для явных оценок радиуса сходимости, используя оценку $|f^{\prime \prime }(x)|\le R$ (поскольку $f^{\prime \prime }(x)=g(x)$).
- Предупреждение: если $f^{\prime }(x_n)$ близко к нулю, шаг величины может стать большим и метод может расходиться; в таких случаях применяют демпфирование (Armijo, линии поиска) или сначала фиксированные итерации/бисекции для приближения.
Сравнение и практическая рекомендация
- Графический метод: использован для выявления числа корней и выбора начального приближения.
- Простые итерации: очень стабильны и гарантированно сходятся при $R<1$; скорость линейная, хороши если $R$ заметно меньше 1.
- Релаксация: полезна, если $R$ близко к 1, позволяет обеспечить сходимость при подходящем $\lambda$.
- Ньютон: быстрый (квадратичный) при хорошем начальном приближении и $f^{\prime }(x_{\ast })\ne 0$; рекомендуется стартовать от графического приближения или от результатов простых итераций; при проблемах с производной — использовать демпфированный Ньютон или бисекцию/брутовое отыскание на $[-R,R]$ как резерв.
Краткий алгоритм на практике
1. Вычислить $R=\sqrt{a^2+b^2}$.
2. Построить/оценить график на $[-R,R]$, получить начальное $x_0$.
3. Если $R<1$ — можно начать с простых итераций $x_{n+1}=g(x_n)$.
4. Иначе (или для ускорения) применить Ньютона с начальным $x_0$; при опасности деления на малое — использовать демпфирование или заранее выполнить несколько шагов простых итераций/бисекции для надёжного старта.
Это даёт гибкую и обоснованную стратегию решения уравнения $x=a\cos x+b\sin x$.