Коротко и по делу — как находить долю фигуры (т.е. какая часть полной площади приходится на часть фигуры). 1) Квадрат, прямоугольник - Площадь квадрата со стороной aaa: A=a2.A = a^2.A=a2.
- Площадь прямоугольника со сторонами aaa и bbb: A=ab.A = ab.A=ab.
- Если вы выделяете подфигуру, которая имеет доли сторон α\alphaα и β\betaβ от исходных (0≤α,β≤10\le\alpha,\beta\le10≤α,β≤1), то доля площади равна произведению долей: доля=αβ.\text{доля}=\alpha\beta.доля=αβ.
Пример: взяли половину ширины (α=12\alpha=\tfrac12α=21) и всю высоту (β=1\beta=1β=1) → доля =12=\tfrac12=21. - Деление на равные прямоугольники/клетки: разбиение на mmm столбцов и nnn строк даёт mnmnmn равных частей, каждая = 1mn\tfrac{1}{mn}mn1 полной площади. 2) Круг - Площадь круга радиуса rrr: A=πr2.A=\pi r^2.A=πr2.
- Сектор с центральным углом θ\thetaθ (в радианах): площадь сектора Aсектор=12r2θ.\;A_{\text{сектор}}=\tfrac12 r^2\theta.Aсектор=21r2θ. Доля площади сектора: доля=θ2π\text{доля}=\frac{\theta}{2\pi}доля=2πθ (в градусах: доля=θ∘360∘\text{доля}=\tfrac{\theta^\circ}{360^\circ}доля=360∘θ∘). Пример: сектор 90∘90^\circ90∘ → доля =90360=14=\tfrac{90}{360}=\tfrac14=36090=41. - Сегмент круга (часть, ограниченная хордой): при центральном угле θ\thetaθ (в радианах) площадь сегмента Aсегмент=r22(θ−sinθ).\;A_{\text{сегмент}}=\tfrac{r^2}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr).Aсегмент=2r2(θ−sinθ). Доля: Aсегментπr2=θ−sinθ2π.\dfrac{A_{\text{сегмент}}}{\pi r^2}=\dfrac{\theta-\sin\theta}{2\pi}.πr2Aсегмент=2πθ−sinθ. Для связи с длиной хорды ccc: θ=2arcsin (c2r)\theta=2\arcsin\!\bigl(\tfrac{c}{2r}\bigr)θ=2arcsin(2rc). - Концентрические кольца (аннулы): площадь кольца между радиусами r1r_1r1 и r2r_2r2 Aкольцо=π(r22−r12),\;A_{\text{кольцо}}=\pi(r_2^2-r_1^2),Aкольцо=π(r22−r12), доля от полного круга радиуса rrr: r22−r12r2\dfrac{r_2^2-r_1^2}{r^2}r2r22−r12 если rrr — внешний радиус. 3) Практические приёмы - Для прямоугольных фигур дроби легко сводятся к долям сторон (произведение долей). - Для круга удобнее разделять на сектора (доля угла/360∘360^\circ360∘) или использовать формулы для сегмента/аннулы. - Всегда вычисляйте долю как отношение площади части к полной площади: доля=AчастьAвся.\text{доля}=\dfrac{A_{\text{часть}}}{A_{\text{вся}}}.доля=AвсяAчасть. Если нужно — приведу конкретный пример с числами или рисунком.
1) Квадрат, прямоугольник
- Площадь квадрата со стороной aaa: A=a2.A = a^2.A=a2. - Площадь прямоугольника со сторонами aaa и bbb: A=ab.A = ab.A=ab. - Если вы выделяете подфигуру, которая имеет доли сторон α\alphaα и β\betaβ от исходных (0≤α,β≤10\le\alpha,\beta\le10≤α,β≤1), то доля площади равна произведению долей: доля=αβ.\text{доля}=\alpha\beta.доля=αβ. Пример: взяли половину ширины (α=12\alpha=\tfrac12α=21 ) и всю высоту (β=1\beta=1β=1) → доля =12=\tfrac12=21 .
- Деление на равные прямоугольники/клетки: разбиение на mmm столбцов и nnn строк даёт mnmnmn равных частей, каждая = 1mn\tfrac{1}{mn}mn1 полной площади.
2) Круг
- Площадь круга радиуса rrr: A=πr2.A=\pi r^2.A=πr2. - Сектор с центральным углом θ\thetaθ (в радианах): площадь сектора Aсектор=12r2θ.\;A_{\text{сектор}}=\tfrac12 r^2\theta.Aсектор =21 r2θ.
Доля площади сектора: доля=θ2π\text{доля}=\frac{\theta}{2\pi}доля=2πθ (в градусах: доля=θ∘360∘\text{доля}=\tfrac{\theta^\circ}{360^\circ}доля=360∘θ∘ ).
Пример: сектор 90∘90^\circ90∘ → доля =90360=14=\tfrac{90}{360}=\tfrac14=36090 =41 .
- Сегмент круга (часть, ограниченная хордой): при центральном угле θ\thetaθ (в радианах) площадь сегмента Aсегмент=r22(θ−sinθ).\;A_{\text{сегмент}}=\tfrac{r^2}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr).Aсегмент =2r2 (θ−sinθ).
Доля: Aсегментπr2=θ−sinθ2π.\dfrac{A_{\text{сегмент}}}{\pi r^2}=\dfrac{\theta-\sin\theta}{2\pi}.πr2Aсегмент =2πθ−sinθ .
Для связи с длиной хорды ccc: θ=2arcsin (c2r)\theta=2\arcsin\!\bigl(\tfrac{c}{2r}\bigr)θ=2arcsin(2rc ).
- Концентрические кольца (аннулы): площадь кольца между радиусами r1r_1r1 и r2r_2r2 Aкольцо=π(r22−r12),\;A_{\text{кольцо}}=\pi(r_2^2-r_1^2),Aкольцо =π(r22 −r12 ), доля от полного круга радиуса rrr: r22−r12r2\dfrac{r_2^2-r_1^2}{r^2}r2r22 −r12 если rrr — внешний радиус.
3) Практические приёмы
- Для прямоугольных фигур дроби легко сводятся к долям сторон (произведение долей).
- Для круга удобнее разделять на сектора (доля угла/360∘360^\circ360∘) или использовать формулы для сегмента/аннулы.
- Всегда вычисляйте долю как отношение площади части к полной площади: доля=AчастьAвся.\text{доля}=\dfrac{A_{\text{часть}}}{A_{\text{вся}}}.доля=Aвся Aчасть .
Если нужно — приведу конкретный пример с числами или рисунком.