Характеристический многочлен:
$${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{cc}1-\lambda & t\\ 0& 1-\lambda \end{array}\right)=(1-\lambda {)}^2,$$ следовательно единственное собственное значение $\lambda =1$ с алгебраической кратностью 2.
Вычислим е́стественное пространство (ядро $(A-I)$):
$$A-I=\left(\begin{array}{cc}0& t\\ 0& 0\end{array}\right),(A-I)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t{x}_2\\ 0\end{array}\right)=0.$$ Отсюда $t{x}_2=0$. Два случая:
- $t=0$: любое $x_2$ допустимо, пространство собственных векторов размерности 2, матрица $A=I$ (диагональная). Значит $A$ диагонализируема над $\mathbb{R}$ и над $\mathbb{C}$.
- $t\ne 0$: из $t{x}_2=0$ следует $x_2=0$, пространство собственных векторов одномерно (геометрическая кратность 1), меньше алгебраической кратности 2. Значит $A$ не диагонализируема ни над $\mathbb{R}$, ни над $\mathbb{C}$. Ее жорданова форма — единичный жорданов блок размера 2:
$$J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),$$ а не диагональная матрица.
Роль жордановой формы и кратностей: алгебраическая кратность — кратность корня характеристического многочлена; геометрическая кратность — размерность собственного пространства. Матрица диагонализируема тогда и только тогда, когда для каждого собственного значения геометрическая кратность равна алгебраической (в жордановой форме все блоки размера 1). В нашем примере при $t\ne 0$ алгебраическая кратность 2, геометрическая 1 ⇒ имеется жорданов блок размера 2 ⇒ не диагонализируема.