Рассматриваем ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{\sqrt{n}}$.
1) Абсолютная сходимость. Ряд модулей равен ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}$ — это $p$-ряд с $p=\frac{1}{2}\le 1$, поэтому расходится. Можно также сказать через интегральный тест: ${\int }_1^{\infty }{x}^{-1/2}dx=\underset{R\to \infty }{\lim }2(\sqrt{R}-1)=\infty$. Следовательно исходный ряд не сходится абсолютно.
2) Альтернирующий ряд (критерий Лейбница). Положительные члены $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ монотонно убывают и ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$. По критерию Лейбница ряд $\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n$ сходится. Оценка остатка: для частичной суммы $S_N$ остаток $R_N={\sum }_{n=N+1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$ удовлетворяет $|R_N|\le a_{N+1}=\frac{1}{\sqrt{N+1}}$.
3) Критерий Дирихле. Пусть $b_n=(-1{)}^{n-1}$. Частичные суммы $B_k={\sum }_{n=1}^k{b}_n$ равны $1$ или $0$, значит ограничены. Последовательность $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ монотонно убывает к нулю. По критерию Дирихле ряд $\sum a_n{b}_n$ сходится. Это даёт другое подтверждение сходимости.
Вывод: ряд сходится условно (сходится по Лейбницу/Дирихле, но не абсолютно). По значению это $\eta (\frac{1}{2})={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^{1/2}}\approx 0.6048986$.