Краткая проверка и дополнительные проверки.
1) Запись уравнений Лагранжа:
$\nabla f=(2x,-2y),\nabla g=(2x,2y),g(x,y)=x^2+y^2-1.$ Условие $\nabla f=\lambda \nabla g$ даёт
$(2x,-2y)=\lambda (2x,2y)$,
то есть
$(1-\lambda )2x=0,(-1-\lambda )2y=0.$
2) Решение системой (перебор случаев):
- Если $x\ne 0$, то $\lambda =1$; тогда из второго уравнения нужно $y=0$. На окружности даёт точки $(\pm 1,0)$ и $f=1$.
- Если $y\ne 0$, то $\lambda =-1$; тогда из первого уравнения нужно $x=0$. На окружности даёт точки $(0,\pm 1)$ и $f=-1$.
(Точка $(0,0)$ не на допустимой множестве.)
3) Дополнительные проверки, необходимые для утверждения о глобальном экстремуме:
- Проверить регулярность ограничения: $\nabla g=2(x,y)$ равна нулю только в $(0,0)$, которая не принадлежит $x^2+y^2=1$. Значит метод Лагранжа применим и не пропустил сингулярных критических точек.
- Сравнить значения функции в найденных критических точках: максимальное найдено $f_{\max }=1$ в $(\pm 1,0)$, минимальное $f_{\min }=-1$ в $(0,\pm 1)$.
- Дополнительная (альтернативная) проверка: параметризация $x=\cos t,y=\sin t$ даёт $f(t)={\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t=\cos 2t$, откуда явно видно $\max =1,\min =-1$ при тех же $t$.
4) Вывод: все необходимые проверки выполнены — на компактном множестве $x^2+y^2=1$ непрерывная функция достигает глобального максимума $1$ в $(\pm 1,0)$ и глобального минимума $-1$ в $(0,\pm 1)$. При желании можно дополнительно применить вторые производные (ограниченная в касательном пространстве) для строгой проверки типа экстремума, но сравнение значений и параметризация уже достаточны.