Коротко: биссектриса по определению — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Ниже — стандартное построение и доказательство, что найденный луч действительно делит угол.
Построение и доказательство:
1. Пусть угол $\angle AOB$. Постройте окружность с центром в $O$ и радиусом $r$, она пересечёт стороны $OA$ и $OB$ в точках $A$ и $B$ соответственно.
2. С центров $A$ и $B$ и одним и тем же радиусом (можно взять тот же $r$ или другой одинаковый) постройте пересекающиеся дуги; обозначьте их пересечение $C$.
3. Проведите луч $OC$. Рассмотрите треугольники $△AOC$ и $△BOC$.
- $OA=OB$ (радиусы первой окружности),
- $AC=BC$ (по построению дуг с одинаковым радиусом),
- $OC=OC$ (общая сторона).
По признаку SSS треугольники равны, значит $\angle AOC=\angle COB$. Следовательно, $OC$ делит угол $\angle AOB$ пополам, то есть является биссектрисой.
Замечание (локус): множество точек, равноудалённых от сторон угла, совпадает с биссектрисой. Это даёт альтернативное характеристическое свойство биссектрисы.