Мнимая единица — это число, обозначаемое обычно iii (в технике иногда jjj), такое что i2=−1
i^2=-1 i2=−1. Оно не принадлежит действительным числам и вводится для расширения их до комплекса. Основные свойства: - минимальное уравнение: x2+1=0
x^2+1=0 x2+1=0, корни ±i\pm i±i; - степени цикличны: i0=1, i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1, …
i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\ \dots i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,…; - умножение на iii соответствует повороту в комплексной плоскости на угол π/2\pi/2π/2: для z=a+bi
z=a+bi z=a+bi имеем iz=−b+ai
i z=-b+ai iz=−b+ai. Комплексное число записывается как a+bi
a+bi a+bi с действительной частью aaa и мнимой частью bbb; его модуль ∣a+bi∣=a2+b2
|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} ∣a+bi∣=a2+b2, сопряжённое a+bi‾=a−bi
\overline{a+bi}=a-bi a+bi=a−bi. Через экспоненту: eiθ=cosθ+isinθ
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta eiθ=cosθ+isinθ, что связывает мнимую единицу с вращениями и тригонометрией.
i2=−1. Оно не принадлежит действительным числам и вводится для расширения их до комплекса.
Основные свойства:
- минимальное уравнение: x2+1=0 x^2+1=0
x2+1=0, корни ±i\pm i±i;
- степени цикличны: i0=1, i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1, … i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\ \dots
i0=1, i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1, …;
- умножение на iii соответствует повороту в комплексной плоскости на угол π/2\pi/2π/2: для z=a+bi z=a+bi
z=a+bi имеем iz=−b+ai i z=-b+ai
iz=−b+ai.
Комплексное число записывается как a+bi a+bi
a+bi с действительной частью aaa и мнимой частью bbb; его модуль ∣a+bi∣=a2+b2 |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}
∣a+bi∣=a2+b2 , сопряжённое a+bi‾=a−bi \overline{a+bi}=a-bi
a+bi =a−bi. Через экспоненту: eiθ=cosθ+isinθ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
eiθ=cosθ+isinθ, что связывает мнимую единицу с вращениями и тригонометрией.