Короткий ответ: да, $0.999\dots =1$. Ниже — несколько разных аргументов и замечания, где нужно быть осторожным.
Доказательства
1) Через частичные суммы (пределы). Пусть $S_n$ — десятичное число с $n$ подряд идущими девятками:
$$S_n=0.\underset{n}{99\dots 9}=1-10^{-n}.$$ Так как ${\lim }_{n\to \infty }10^{-n}=0$, то ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=1$. Если $0.999\dots$ означается как предел частичных десятичных приближений, то он равен $1$.
2) Через сумму геометрической прогрессии. Записать
$$0.999\dots =\sum _{k=1}^{\infty }9\cdot 10^{-k}=9\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{10}\right)}^k.$$ Это геометрическая прогрессия с первым членом $9/10$ и знаменателем $1/10$, её сумма
$$9\cdot \frac{1/10}{1-1/10}=9\cdot \frac{1}{9}=1.$$
3) Простая алгебраическая манипуляция (с обоснованием через пределы). Пусть $x=0.999\dots$. Тогда $10x=9.999\dots$. Вычитая,
$$9x=9\Rightarrow x=1.$$ Эту операцию корректна, если $0.999\dots$ понимается как предел рядов/последовательностей, тогда умножение и вычитание согласуются с предельными операциями.
4) Через дроби. Известно $1/3=0.333\dots$. Умножая на $3$ получаем $1=0.999\dots$.
Обобщение и свойство десятичных разложений
- В любой позиционной системе с основанием $b$ имеет место аналогичное тождество: $0.{\overline{(b-1)}}_b=1$ (например, в двоичной системе $0.111{\dots }_2=1$).
- Теорема о десятичных разложениях: каждое действительное число имеет уникальное десятичное разложение, за исключением чисел, у которых представление завершается нулями — у таких чисел есть второе представление, завершающееся бесконечностью девяток. Например, $0.5=0.5000\dots =0.4999\dots$.
Возможные возражения и где быть осторожным
- Интуиция «они бесконечно близки, но не равны». В стандартных вещественных числах нет ненулевых «инфинитезимальных» величин: если разность $1-0.999\dots$ равна пределу $10^{-n}$ при $n\to \infty$, то этот предел равен $0$, значит числа равны.
- Неточность в понимании многоточия. Запись $0.999\dots$ должна быть однозначно трактована как предел последовательности частичных сумм или как значение сходящегося ряда. Если кто-то использует «бесконечный процесс» в интуитивном смысле (не как предел), то требуется уточнение; в неклассических системах (например, гипервещественные числа) могут существовать обозначения, где «последняя» девятка после бесконечно многих позиций даёт отличное значение — это уже другая теория чисел.
- Операции с бесконечными записями (умножение, вычитание) формально нужно обосновать через пределы или свойства сходящихся рядов/последовательностей. Простая алгебраическая манипуляция корректна именно потому, что соответствующие пределы существуют и операции над ними законны.
- В конструктивной математике или при альтернативных построениях действительных чисел некоторые формулировки требуют дополнительной проверки (например, как определён предел, какие аксиомы используются).
Итого: при стандартном определении вещественных чисел через пределы/ряды/Dedekind‑разрезы запись $0.999\dots$ равно $1$; различие возникает только при иной интерпретации «бесконечности» (например, в ненормальной модели с инфинитезималами).