Кратко — несколько подходов к уравнению $x^4-5x^2+4=0$, их сравнение, обоснование выбора и подводные камни.
1) Замена переменной (аналитическое, самое простое)
- Сделать замену $t=x^2$. Получаем квадратное уравнение $t^2-5t+4=0$.
- Решение: дискриминант $D=25-16=9$, $t_{1,2}=(5\pm 3)/2\Rightarrow t_1=4,t_2=1$.
- Обратно: $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2,x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$.
- Факторизация: $x^4-5x^2+4=(x^2-4)(x^2-1)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$.
- Преимущества: даёт все корни (реальные и, при необходимости, комплексные), быстро и точно. Рекомендуется для полного аналитического разбора и точного нахождения корней.
- Подводные камни: при замене надо помнить, что $t$ — это $x^2$, т.е. при поиске комплексных корней решения вида $t<0$ даёт комплексные $x$; в общем метод корректен, но нужно вернуть оба знака корня квадратного.
2) Разложение на множители (симметрия, иногда более прямой путь)
- Непосредственно заметить, что выражение можно разложить по разности квадратов: $(x^2-1)(x^2-4)$.
- Преимущества: быстрое получение линейных множителей и корней. Полезно, если видно структуру многочлена.
- Подводные камни: для более сложных многочленов разложение неочевидно; ошибочно найденный множитель может упустить кратные корни.
3) Численные методы (если коэффициенты некраткие/приближённые или степень высокая)
- Методы: Ньютона (итерация), бисекция (для вещественных корней на интервалах), метод корней многочлена через собственные значения матрицы-компаньона или алгоритмы Jenkins–Traub.
- Преимущества: применимы к произвольным многочленам, дают приближённые корни при сложных коэффициентах.
- Подводные камни:
- Ньютона: требует хорошей начальной точки, может расходиться или сходиться к другому корню; при кратных корнях сходимость замедляется.
- Бисекция: надежна, но медленна и применима только к вещественным корням, если есть знакоперемена.
- Численные алгоритмы чувствительны к погрешности коэффициентов и потере значащих цифр; могут пропустить комплексные пары, если ищут только по вещественной оси.
- Всегда проверяйте остаток $f(x)$ и используйте несколько начальных приближений, чтобы не пропустить корни.
4) Выбор метода в зависимости от целей
- Полный аналитический разбор: замена $t=x^2$ и факторизация — лучший выбор (быстро, точно, объясняет структуру).
- Нахождение всех корней численно: если коэффициенты точные и невысокая степень — аналитика; если степень большая или коэффициенты экспериментальные — метод компаньона или надёжные библиотеки (например, LAPACK, eigen) для поиска всех корней.
- Приближённое решение одного корня: Ньютона для быстрой сходимости (при хорошей начальной точке) или бисекция для гарантии сходимости на отрезке.
5) Контроль и проверка
- Подставьте найденные корни в $f(x)=x^4-5x^2+4$ и проверьте, что остаток мал (для приближённых решений).
- Проверьте кратности корней (здесь все корни простые).
Итог для данного уравнения: аналитически получаем корни $x=\pm 1,\pm 2$. Для общих задач руководствоваться: если можно сделать замену/разложение — берите аналитический путь; если нет — численные методы с внимательной проверкой и учётом устойчивости.