Доказательство и сравнение методов.
1) Классическое (гомотетия/медиальная треугольник).
Пусть $ABC$ и $M,N,P$ — середины сторон $BC,CA,AB$ (медиальная треугольник $MNP$). Медианы $AM,BN,CP$ являются лучами, соединяющими вершины исходного треугольника с соответствующими вершинами медиальной треугольника. Медиальная треугольник гомотетична исходному с коэффициентом $-\frac{1}{2}$ (образ вершины — соответствующая середина противоположной стороны). Центр этой гомотетии — единственная точка пересечения прямых $AM,BN,CP$, поэтому медианы пересекаются в одной точке $G$. Так как гомотетия с коэффициентом $-\frac{1}{2}$ переводит вершину в середину отрезка, центр делит отрезок «вершина — середина противоположной стороны» в отношении $2:1$ (ближе к середине):
$$AG:GM=2:1,BG:GN=2:1,CG:GP=2:1.$$
2) Векторно/координатно (быстро и однозначно).
Пусть векторные координаты вершин $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$. Середина $BC$ имеет координату $\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$. Точка пересечения медиан (предполагаемая) имеет вид
$$\mathbf{g}=\mathbf{a}+t\left(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}-\mathbf{a}\right)$$ и одновременно (по другой медиане)
$$\mathbf{g}=\mathbf{b}+s\left(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{c}}{2}-\mathbf{b}\right).$$ Решая системы, получаем одно и то же решение
$$\mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}.$$ Отсюда, например,
$$\mathbf{g}-\mathbf{a}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}-2\mathbf{a}}{3},\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}-\mathbf{a}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}-2\mathbf{a}}{2},$$ поэтому отношение параметров даёт $t=\frac{2}{3}$, то есть
$$AG:GM=\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=2:1.$$ Векторный/координатный подход короче, даёт явную формулу для центра масс и легко обобщается.
3) Как меняется доказательство в пространстве (тетраэдр).
Для тетраэдра с вершинами с векторными координатами $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ центроид (центр масс при равных массах в вершинах) равен
$$\mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{4}.$$ Медианой тетраэдра обычно называют отрезок от вершины до центра тяжести (середины) противоположной грани, например от $A$ до $\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3}$. Подставляя, получаем что каждая такая медиана проходит через одну и ту же точку $\mathbf{g}$ и делится ею в отношении
$$AG:GM=3:1,$$ потому что точка на медиане вычисляется как
$$\mathbf{a}+\lambda \left(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3}-\mathbf{a}\right)=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{4}$$ и даёт $\lambda =\frac{3}{4}$. То есть в пространстве векторный/координатный метод остаётся прямым и удобным; синтетическое (чисто евклидово) доказательство для тетраэдра обычно громоздче и чаще заменяется аргументом центра масс или использованием гомотетий/параллелизмов.
Краткое сравнение методов:
- Классический синтетический (гомотетия/медиальная) даёт чистую геометрическую интерпретацию и для треугольника короток.
- Векторный/координатный метод короче, даёт явную формулу $\mathbf{g}=\frac{1}{n+1}\sum {\mathbf{v}}_i$ и легко обобщается на тетраэдр и на $n$-симплекс (для $n$-симплекса медианы сходятся в точке, которая делит их в отношении $n:1$ от вершины).