Решение и комментарии.
1) Общее решение на множестве действительных чисел. Из $\sin x=\frac{1}{2}$ опорный угол $\alpha =\frac{\pi }{6}$. Синус положителен в I и II квадрантах, поэтому
$$x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{или}x=\pi -\frac{\pi }{6}+2\pi k=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$ Альтернативно однообозначенно:
$$x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+n\pi ,n\in \mathbb{Z},$$ что эквивалентно первому виду.
2) Решения на интервале $[0,2\pi )$:
$$x=\frac{\pi }{6},x=\frac{5\pi }{6}.$$
3) Типичные ошибки при учёте периодичности и почему это важно:
- Ошибка: брать период $\pi$ вместо $2\pi$ и писать $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$. Это неверно, потому что $\sin (x+\pi )=-\sin x$, следовательно период синуса равен $2\pi$, а сдвиг на $\pi$ меняет знак.
- Ошибка: забыть второе решение в основном периоде (второй квадрант) и оставить только $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$. Тогда теряются решения вида $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$.
- Ошибка: брать $k$ только из натуральных чисел вместо $k\in \mathbb{Z}$, что даёт неполную семью решений.
- Ошибка при использовании формы $(-1{)}^n\alpha +n\pi$: неверно указать множитель при $n$ или неправильно интерпретировать чётность $n$.
Правильный учёт периодичности необходим, чтобы получить все и только те значения $x$, при которых тождество выполняется; неверный множитель периода приводит либо к пропуску решений, либо к добавлению посторонних.