Ряд: $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}.$
1) Сходится (условно).
- По признаку Лейбница: положительные члены $a_n=\frac{1}{n}$ монотонно убывают и стремятся к нулю, то есть $a_n\searrow 0$. Тогда ряд $\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n$ сходится.
2) Не является абсолютно сходящим.
- Абсолютный ряд равен гармоническому: ∑n=1∞∣(−1)n−1n∣=∑n=1∞1n\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}∑n=1∞ n(−1)n−1 =∑n=1∞ n1 , который расходится (например, по интегральному признаку: ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}=\infty$). Следовательно, исходный ряд условно сходящ.
3) Сумма ряда.
- По ряду Меркатора (ряд Тейлора для $\ln (1+x)$): $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$ для $|x|<1$, и при $x=1$ ряд сходится условно к $\ln 2$. Значит ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}=\ln 2.$
4) Влияние перестановки членов.
- Поскольку ряд условно сходящий, перестановки могут изменить сумму. По теореме Римана о перестановках: для любого заданного числа $S\in \mathbb{R}$ существует перестановка членов условно сходящегося ряда, дающая сумму $S$; можно также получить расходимость (в ту или иную сторону).
- Противоположно, абсолютно сходящиеся ряды сохраняют сумму при любой перестановке.
Краткое итоговое утверждение: ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$ условно сходится к $\ln 2$; он не абсолютно сходящ; перестановки членов могут менять сумму (теорема Римана).