Пусть $A$ — действительная симметрическая матрица ($A^T=A$). Пусть $u$ и $v$ — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям $\lambda$ и $\mu$ ($\lambda \ne \mu$):
$$Au=\lambda u,Av=\mu v.$$ Вводим скалярное произведение стандартно $(x,y)=x^{T}y$. Тогда
$$\lambda (u,v)=(Au,v)=(u,A^{T}v)=(u,Av)=\mu (u,v).$$ Отсюда $(\lambda -\mu )(u,v)=0$. Так как $\lambda \ne \mu$, получаем $(u,v)=0$, т.е. $u$ и $v$ ортогональны.
Какие свойства использованы
- свойство симметричности матрицы $A^T=A$ (самосопряжённость относительно выбранного скалярного произведения),
- линейность и симметрия (в комплексном случае — сопряжённо-симметричность) скалярного произведения, а также тождество $(Ax,y)=(x,A^{\ast }y)$ (где $A^{\ast }$ — сопряжённо-транспонированная матрица). Положительная определённость скалярного произведения тут не использовалась — достаточно его несингулярности и свойств линейности/симметрии.
Обобщение на эрмитовы матрицы
- Если $A$ эрмитова ($A^{\ast }=A$) в комплексном пространстве и $Au=\lambda u,Av=\mu v$, то точно так же
$$\lambda (u,v)=(Au,v)=(u,Av)=\mu (u,v),$$ откуда при $\lambda \ne \mu$ следует $(u,v)=0$. Кроме того, у эрмитовых матриц все собственные значения вещественны, а набор собственных векторов можно выбрать ортонормированным (матрица унитарно диагонализируема).
Что меняется для нессимметричных матриц
- Для общего (несимметричного, неэрмитова) $A$ свойство ортогональности нарушается: собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, не обязаны быть ортогональны. Например,
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right),$$ имеет собственные векторы $(1,0{)}^T$ при $\lambda =1$ и $(1,1{)}^T$ при $\mu =2$, которые не ортогональны.
- Более общая достаточная условие ортогональности — нормальность матрицы ($A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$); нормальные матрицы (включая симметрические/эрмитовы) унитарно (ортогонально в реальном случае) диагонализируются, и их собственные векторы для различных собственных значений ортогональны.
- Кроме того, нессимметричные матрицы могут быть вырожденными (недиагонализируемыми), т.е. недостаточно собственных векторов, что делает дальнейшую теорию более сложной.