Теорема. Для простого $p$ число $\sqrt{p}$ иррационально.
Доказательство (классическое, от противного). Предположим $\sqrt{p}$ рационально: $\sqrt{p}=\frac{a}{b}$, где целые $a,b$ взаимо просты и $b>0$. Возведём в квадрат:
$$p{b}^2=a^2.$$ Отсюда $p$ делит правую часть $a^2$. Так как $p$ простое, из свойства простых чис деления (Эвклидова лемма) следует: если простое $p$ делит произведение, то оно делит один из сомножителей; значит $p$ делит $a$. Запишем $a=pk$. Подставляя в равенство:
$$p{b}^2=p^2{k}^2\Rightarrow b^2=p{k}^2.$$ Тогда $p$ делит $b^2$, а потому (опять по простоте $p$) делит $b$. Получаем, что $p$ делит и $a$, и $b$, что противоречит условию их взаимной простоты. Противоречие доказывает, что $\sqrt{p}$ не может быть рациональным.
Какие части зависят от простоты $p$. Ключевой шаг — вывод «если $p$ делит $a^2$, то $p$ делит $a$» — использует простоту $p$ (или, эквивалентно, Эвклидову лемму). Для составных $n$ этот конкретный аргумент напрямую может не сработать: например, при $n=4$ имеем $\sqrt{4}=2$ — рационально. Но для составных чисел, не являющихся полными квадратами, утверждение о иррациональности всё равно верно, потребуются более общие соображения.
Обобщение. Для целого $N>0$ верно следующее: $\sqrt{N}$ рационально тогда и только тогда, когда $N$ — полный квадрат (существует целое $t$ такое, что $N=t^2$). Следовательно, если $N$ не является полным квадратом, то $\sqrt{N}$ иррационально.
Доказательство обобщения (через факторизацию по простым): Предположим $\sqrt{N}=\frac{a}{b}$ в несократимом виде. Тогда
$$N{b}^2=a^2.$$ Разложим $N$, $a$, $b$ в произведения простых: для любого простого $q$ обозначим $v_q(x)$ кратность $q$ в $x$. Тогда по равенству выше
$$v_q(N)+2v_q(b)=2v_q(a).$$ Правая сторона чётна, поэтому для каждого простого $q$ число $v_q(N)$ должно быть чётным. Следовательно, все простые в разложении $N$ имеют чётные степени, то есть $N$ — полный квадрат. Обратное тривиально. Отсюда обобщённый результат.
Частный случай (square-free): если $N$ без квадратных делителей (square-free), то в разложении $N$ каждая простая входит с показателем $1$, нечётным; тогда предыдущий аргумент даёт противоречие уже на уровне одной простой, как в случае $p$.
Ещё более общие версии. Для корня степени $k$: если $N$ не является $k$-й степенью целого, то $\sqrt[k]{N}$ иррационально. Доказательство аналогично через сравнение показателей простых: для всех простых $q$ должно выполняться $v_q(N)\equiv 0(\mathrm{mod}k)$.
Вывод. Для простого $p$ доказательство иррациональности $\sqrt{p}$ — частный случай общего факта, основанного на фундаментальной теореме арифметики (или на Эвклидовой лемме в случае простых модулей). Прямое использование простоты $p$ позволяет сделать доказательство коротким; для общих $N$ требуется учитывать простые множители и их кратности.