Ответ: $0<a<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Краткое доказательство:
- Для уравнения $x^2+2(a-1)x+a=0$ дискриминант
$$D=4((a-1{)}^2-a)=4(a^2-3a+1).$$ Должно быть $D>0\Rightarrow a^2-3a+1>0$, то есть $a<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ или $a>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
- По Виету суммы и произведение корней: $x_1+x_2=-2(a-1)$, $x_1{x}_2=a$. Для двух положительных корней нужно
$$x_1{x}_2>0\Rightarrow a>0,x_1+x_2>0\Rightarrow -2(a-1)>0\Rightarrow a<1.$$ Совместив с условием на $D$ получаем $0<a<1$ и одновременно $a<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ или $a>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$. Пересечение даёт
$$0<a<\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$$
Возможные ошибки и проверки:
- Ошибка: забыть условие $D>0$ (тогда можно получить комплексные корни или кратный корень). Если допустим кратный корень (D=0), то корень будет равен $x=1-a$ — положителен при $a<1$, но это один корень (не два), поэтому в задаче с требованием «два положительных корня» $D$ должно быть строго положительно.
- Ошибка: неверно вычислить сумму корней (знак!), нужно помнить $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
- Проверка границ: подставить крайние значения: $a=0\Rightarrow x_1{x}_2=0$ (есть корень $0$, не положителен); при $a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ имеем $D=0$ — двойной положительный корень $x=1-a>0$, но он не даёт двух различных корней. Также можно проверить условие геометрически: вершина параболы в $x_v=1-a$ должна лежать правее нуля ($a<1$) и значение в вершине $f(x_v)=-D/4<0$ (то есть $D>0$).