Короткий ответ: нет невырожденного треугольника с указанными свойствами. Единственный формально возможный случай — вырождение $B=C$.
Доказательство и план «построения» (с пояснениями):
1) Обозначения. Пусть $AB=AC=s$, $BC=a$. Пусть $M$ — середина $AC$. Условие: $BM=\frac{1}{2}AC=\frac{s}{2}$.
2) Применение теоремы Аполлония (или формулы для медианы). Для медианы из вершины $B$ имеем
$$m_B^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4},$$ где $b=AC=s,c=AB=s$. Подставляя $m_B=\frac{s}{2}$ получаем
$$\frac{2a^2+s^2}{4}=\frac{s^2}{4}\Rightarrow 2a^2=0\Rightarrow a=0.$$ Значит $BC=0$ и треугольник вырождается.
(Аналогично можно применить формулу Аполлония в виде
$$2(B{A}^2+B{C}^2)=A{C}^2+4m_B^2,$$ или воспользоваться теоремой Стюарта или координатным методом — результат тот же.)
3) «Построение», если строго следовать условию: взять отрезок $AC$ длины $s$, найти его середину $M$; пересечение окружности с центром $A$ радиуса $s$ и окружности с центром $M$ радиуса $\frac{s}{2}$ даёт единственную общую точку — это точка $C$. Таким образом ненулевой точки $B$ не получается.
Однозначность и тонкости:
- При данных условиях нет ненулевого (невырожденного) решения, значит «уникальность» сводится к единственному вырождённому случаю $B=C$.
- Используемые теоремы: Аполлония (формула для медианы), теорема Стюарта, координатный метод и аргументы с пересечением окружностей.
- Внимание к формулировке: если под «медианой» ошибочно имели в виду биссектрису или высоту, или если утверждение должно было звучать «медиана равна половине другой стороны» (другая сторона — не $AC$), то задача меняется и могут существовать невырожденные решения. Также важно, что длины положительны; при $AC=0$ треугольник тривиален.