Используем тождество $\sin (2x)=2\sin x\cos x$. Тогда уравнение превращается в
$$2\sin x\cos x=2\sin x.$$ Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель:
$$2\sin x(\cos x-1)=0.$$ Так как произведение равно нулю, то по правилу "произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю" имеем два случая:
1) $\sin x=0$. Общий вид решений: $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x-1=0$, т.е. $\cos x=1$. Общий вид решений: $x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Объединение этих множеств даёт $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (поскольку $x=2k\pi$ — часть решений $\sin x=0$).
Комментарий по допустимым преобразованиям и потере решений: деление на выражение, которое может обращаться в ноль, запрещено. Например, если бы мы сразу разделили обе части исходного уравнения на $2\sin x$, то получили бы $\cos x=1$ и потеряли бы решения с $\sin x=0$ (то есть пункты $x=(2k+1)\pi$). При факторизации и разложении в произведение потерь не происходит. Периодичность функций учтена в общих видах решений через добавление $k\pi$ или $2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.