Рассмотрим
$$I(p)={\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx,p>0.$$
1) Сходимость (обычная).
Можно применить тест Дирихле: функции $F(X)={\int }_1^X\sin tdt=1-\cos X$ имеют ограниченные частичные интегралы, а $g(x)=x^{-p}$ монотонно убывает и ${\lim }_{x\to \infty }{x}^{-p}=0$ при $p>0$. Следовательно интеграл сходится при всех $p>0$. (Альтернативно: интегрирование по частям даёт границу $[-x^{-p}\cos x{]}_1^R\to 0$ и оставшийся интеграл с ядром $\cos x{x}^{-p-1}$ абсолютно сходящуюся для $p>0$.)
2) Абсолютная сходимость.
Рассмотрим
$${\int }_1^{\infty }\frac{|\sin x|}{x^p}dx.$$ Если $p>1$, то $|\sin x|\le 1$ и сравнение с ${\int }_1^{\infty }{x}^{-p}dx$ даёт абсолютную сходимость.
Если $0<p\le 1$, то интеграл расходится: разложим по периодам $[n\pi ,(n+1)\pi ]$. Так как $c={\int }_0^{\pi }|\sin t|dt=2$, имеем для больших $n$ $${\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{|\sin x|}{x^p}dx\ge \frac{c}{((n+1)\pi {)}^p},$$ и ряд ${\sum }_n((n+1)\pi {)}^{-p}$ расходится при $p\le 1$. Значит при $0<p\le 1$ абсолютная сходимость отсутствует.
Выводы:
- Интеграл $I(p)$ сходится (в смысле несобственного интеграла) при всех $p>0$.
- Он сходится абсолютно тогда и только тогда, когда $p>1$.
- При $0<p\le 1$ сходимость условная.