В урне две монеты: одна честная (P(орел)=0.5), другая "смещённая" (P(орел)=0.6). Вы случайно выбираете одну монету и трижды подбрасываете её, результат — три орла. Какова апостериорная вероятность того, что была выбрана смещённая монета при априорной вероятности выбора каждой монеты 1/2; обсудите, как изменится ответ при других априорных распределениях и какие допущения важны
В урне две монеты: одна честная (P(орел)=0.5), другая "смещённая" (P(орел)=0.6). Вы случайно выбираете одну монету и трижды подбрасываете её, результат — три орла. Какова апостериорная вероятность того, что была выбрана смещённая монета при априорной вероятности выбора каждой монеты 1/2; обсудите, как изменится ответ при других априорных распределениях и какие допущения важны
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
P(B∣D)=P(D∣B)P(B)P(D∣B)P(B)+P(D∣F)P(F).P(B\mid D)=\frac{P(D\mid B)P(B)}{P(D\mid B)P(B)+P(D\mid F)P(F)}.P(B∣D)=P(D∣B)P(B)+P(D∣F)P(F)P(D∣B)P(B) .
Значения: P(D∣B)=0.63=0.216, P(D∣F)=0.53=0.125, P(B)=P(F)=1/2.P(D\mid B)=0.6^3=0.216,\; P(D\mid F)=0.5^3=0.125,\; P(B)=P(F)=1/2.P(D∣B)=0.63=0.216,P(D∣F)=0.53=0.125,P(B)=P(F)=1/2. Тогда
P(B∣D)=0.5⋅0.2160.5⋅0.216+0.5⋅0.125=216341≈0.6334P(B\mid D)=\frac{0.5\cdot 0.216}{0.5\cdot 0.216+0.5\cdot 0.125}=\frac{216}{341}\approx 0.6334P(B∣D)=0.5⋅0.216+0.5⋅0.1250.5⋅0.216 =341216 ≈0.6334 (≈63.3%).
Краткие замечания о других априорах и важных допущениях:
- При общем априоре πB\pi_BπB формула даёт P(B∣D)=πB⋅0.63πB⋅0.63+(1−πB)⋅0.53.P(B\mid D)=\dfrac{\pi_B\cdot 0.6^3}{\pi_B\cdot 0.6^3+(1-\pi_B)\cdot 0.5^3}.P(B∣D)=πB ⋅0.63+(1−πB )⋅0.53πB ⋅0.63 . Чем больше πB\pi_BπB , тем выше апостериор; при очень малом πB\pi_BπB три орла обычно не перекроют сильный скептицизм.
- Отношение правдоподобий (likelihood ratio) равно 0.630.53=1.728\dfrac{0.6^3}{0.5^3}=1.7280.530.63 =1.728. Апостериорные шансы = априорные шансы × 1.7281.7281.728.
- Важные допущения: выбор одной монеты случайен и однократен; подбросы независимы; вероятности 0.50.50.5 и 0.60.60.6 — точны; нет ошибок наблюдения; в модели только две возможные монеты. Если какое‑то из допущений нарушено, результаты могут существенно измениться.