Короткий ответ: для многочлена с целыми коэффициентами условие $m\mid P(m)$ для всех целых $m$ выполняется тогда и только тогда, когда свободный член равен нулю, т.е. $P(0)=0$. Эквивалентно $P(x)$ делится на $x$ в $\mathbb{Z}[x]$: $P(x)=xR(x)$ с целыми коэффициентами.
Доказательство (кратко). Пусть $P(x)=xR(x)+c$ где $c=P(0)$. Для любого невырожденного $m$ имеем $P(m)\equiv c(\mathrm{mod}m)$. Если $m\mid P(m)$ для всех целых $m$, то $m\mid c$ для всех целых $m$, значит $c=0$. Тогда $P(x)=xR(x)$ даёт $P(m)=mR(m)$, значит $m\mid P(m)$ для всех $m$. Обсуждение случая $m=0$: делимость на $0$ не определена, обычно условие понимают как для всех ненулевых целых $m$; требование $P(0)=0$ естественно для продолжения свойства.
Примеры: $P(x)=x$, $P(x)=x^2+2x=x(x+2)$, $P(x)=x(x^2+1)$ — у всех $P(0)=0$ и поэтому $m\mid P(m)$ для любых целых $m$.
Связь с теоремой о целочисленно значимых многочленах: если ослабить требование с «целые коэффициенты» на «рациональные коэффициенты, но $P(\mathbb{Z})\subset \mathbb{Z}$», то по теореме о целочисленно значимых многочленах любой такой многочлен имеет вид
$$f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right),a_k\in \mathbb{Z}.$$ Тогда условие $m\mid P(m)$ для всех целых $m$ эквивалентно тому, что
$$P(x)=x\cdot \sum _{k\ge 0}{a}_k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right),$$ то есть $P(x)/x$ — целочисленно значимый многочлен. Для исходного класса с целыми коэффициентами это просто сводится к $P(0)=0$.