Утверждение неверно: функция $f(x)=x^2$ не равномерно непрерывна на $\mathbb{R}$.
Доказательства (два эквивалентных подхода):
1) Последовательности (простой контрпример). Возьмём
$$x_n=n,y_n=n+\frac{1}{n}.$$ Тогда $|x_n-y_n|=\frac{1}{n}\to 0$, но
$$|f(x_n)-f(y_n)|=|n^2-(n+\frac{1}{n}{)}^2|=2+\frac{1}{n^2}\to 2\ne 0.$$ По критерию равномерной непрерывности (если $|x_n-y_n|\to 0$ то должно быть $|f(x_n)-f(y_n)|\to 0$) это показывает, что $f$ не равномерно непрерывна.
2) Эпсилон–дельта (классический). Предположим противное: $f$ равномерно непрерывна. Возьмём $\epsilon =1$. Тогда существует $\delta >0$ такое, что из $|x-y|<\delta$ следует $|x^2-y^2|<1$. Положим $x=\frac{1}{\delta }$, $y=x+\frac{\delta }{2}$. Тогда $|x-y|=\frac{\delta }{2}<\delta$, но
$$|x^2-y^2|=|2x\cdot \frac{\delta }{2}+(\frac{\delta }{2}{)}^2|=x\delta +\frac{{\delta }^2}{4}=1+\frac{{\delta }^2}{4}\ge 1,$$ противоречие. Значит $f$ не равномерно непрерывна на $\mathbb{R}$.
Комментарии о типичных ошибках и различиях с непрерывностью:
- Непрерывность в каждой точке: для каждого $x$ и каждого $\epsilon$ существует $\delta =\delta (x,\epsilon )$. Для равномерной непрерывности $\delta$ должен не зависеть от точки $x$. Ошибка — брать $\delta$, зависящий от $x$, и считать, что это даёт равномерность.
- Частая неверная интуиция: если производная $f^{\prime }$ неограниченна, то функция неравномерно непрерывна — это не общая теорема, но для $f(x)=x^2$ именно неограниченность производной ($f^{\prime }(x)=2x$) сочетается с квадратичным ростом и даёт пример нарушения равномерной непрерывности. Обратно: если $f^{\prime }$ ограничена на множестве, то $f$ липшицева и, следовательно, равномерно непрерывна.
- Теорема Гейне–Контра (Heine–Cantor): непрерывная функция на компактном множестве (в частности на отрезке $[a,b]$) обязательно равномерно непрерывна. Поэтому $x^2$ равномерно непрерывна на любом ограниченном отрезке, но не на всей $\mathbb{R}$.
Вывод: утверждение ложно; $f(x)=x^2$ не равномерно непрерывна на $\mathbb{R}$.