Краткая последовательность методов (с объяснениями и когда они полезны):
1) Тест рациональных корней (Простая и быстрая проверка).
- Проверяем кандидаты $\pm 1$ (делители свободного члена). Для $p(x)=x^5-5x^3+4x+1$ получаем $p(\pm 1)=1$, значит рациональных корней вида $\pm 1$ нет. Рекомендуется первым, когда свободный член невелик — быстро отсеивает простые корни.
2) Группировка/алгебраическая упрощение (ищем структуры и возможную факторизацию).
- Замечание: $p(x)=x^5-5x^3+4x+1=x(x^4-5x^2+4)+1=x(x^2-1)(x^2-4)+1$.
- Это даёт понимание значений в точках $x=0,\pm 1,\pm 2$: $p(0)=p(\pm 1)=p(\pm 2)=1$. Полезно, когда видна явная факторизация или произведение — помогает быстро оценить поведение функции в ключевых точках и сузить интервалы для корней.
3) Простейшие анализы: знаковые проверки, правило Декарта, исследование производной (для количества и локализации экстремумов).
- Правило Декарта для положительных корней: коэффициенты $(1,0,-5,0,4,1)$ дают $2$ изменений знака $\Rightarrow$ максимум $2$ положительных корня. Для отрицательных корней смотрим $p(-x)$ — максимум $3$ отрицательных.
- Производная: $p^{\prime }(x)=5x^4-15x^2+4=5u^2-15u+4$ с $u=x^2$. Корни для $u$ дают критические точки примерно $u\approx 2.7041$ и $u\approx 0.2959$, т.е. критические точки $x\approx \pm 1.644,\pm 0.544$. Это помогает понять, сколько пересечений оси $x$ возможно (структура максимумов/минимумов).
- Эти методы хороши для подсчёта числа действительных корней и поиска отрезков, где функция меняет знак.
4) Точно посчитать число корней (Sturm, число изменений знака) — когда нужна строгая гарантия.
- Sturm-последовательность даёт точно число действительных корней в интервале. Рекомендуется, если нужно формальное доказательство количества корней.
5) Численные методы для локализации и уточнения корней (бисекция, метод Ньютона, секущих).
- Сначала определить интервалы с изменением знака (простейший поиск по сетке, используя выводы из шага 2–3). Примеры для текущего многочлена: найдено изменение знака на интервалах $(1,1.2)$, $(1.6,2)$ и $(-3,-2)$ (см. быстрые проверки значений), т.е. три действительных корня.
- Бисекция: надёжна, конвергирует всегда при наличии смены знака — предпочтительна для гарантированного нахождения корня.
- Метод Ньютона: быстрее (квадратичная сходимость) при хорошей начальной аппроксимации и ненулевой производной; использовать после грубой локализации корня.
- Секущая/модифицированные методы полезны, когда $p^{\prime }$ трудно вычислять.
Когда какой метод предпочтительнее:
- Если возможна элементарная факторизация/группировка — использовать её в первую очередь (даёт структуру и экономит вычисления).
- Если свободный член мал — сначала тест рациональных корней.
- Если нужно только число действительных корней или формальная гарантия — применять Sturm или комбинацию правила Декарта + анализ производной.
- Для практического нахождения значений корней — комбинировать: сначала локализовать интервалы (группировка + знак + критические точки), затем уточнять бисекцией или Ньютоном (бисекция — стабильнее, Ньютон — быстрее при хороших начальных приближениях).
Короткое заключение по данному многочлену: алгебраическая группировка дала полезную структуру $p(x)=x(x^2-1)(x^2-4)+1$;\) правило Декарта и значения в точках дают два положительных корня и один отрицательный; затем надёжно их изолировать и уточнить бисекцией/Ньютоном.