Кратко: задача — найти точку $P$, минимизирующую сумму расстояний
$$F(P)=PA+PB+PC.$$ Две возможности: если в треугольнике есть угол $\ge 120^{\circ }$, то минимум достигается в соответствующей вершине; если все углы $<120^{\circ }$, то единственная внутренняя точка — Ферма (торричеллиевская) точка, у которой углы между лучами к вершинам равны $120^{\circ }$.
Методы и сравнение.
1) Чисто геометрические конструкции
- Классическое построение (равносторонние треугольники): на сторонах $AB$ и $AC$ построить равносторонние треугольники внешне (вершины $A_1$ и $A_2$). Провести прямые $A_{1}C$ и $A_{2}B$; их пересечение даёт точку Ферма $P$. Аналогично можно строить на других парах сторон. Обоснование: поворот на $60^{\circ }$ превращает сумму двух отрезков в один прямой отрезок, что даёт минимальность.
- Условие углов: можно построить внутри треугольника точку $P$, для которой $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ }$; пересечение двух таких лучей даёт $P$. Это даёт точное построение, когда все углы треугольника меньше $120^{\circ }$.
- Граничный случай: если $\angle A\ge 120^{\circ }$ (или B, или C), то однозначно $P=A$ — никакая внутренняя точка не даёт меньшей суммы.
Плюсы: конструктивно и точно; минусы: требует знания, для каких сторон строить внешние равносторонние треугольники и не даёт численной схемы для общего множества точек.
2) Координатный метод
- Положим координаты $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),C(x_C,y_C)$. Минимизируем
$$F(x,y)=\sqrt{(x-x_A{)}^2+(y-y_A{)}^2}+\sqrt{(x-x_B{)}^2+(y-y_B{)}^2}+\sqrt{(x-x_C{)}^2+(y-y_C{)}^2}.$$ - Условие стационарности (дифференцируем вне вершин) даёт векторное уравнение
$$\frac{PA}{PA}+\frac{PB}{PB}+\frac{PC}{PC}=0.$$ Из этого следует, что три единичных вектора суммой дают ноль, значит они образуют углы $120^{\circ }$.
- Решение численно: можно применять метод Ньютона к системе двух уравнений градиента или итеративный алгоритм Вайцфельда:
$$P_{n+1}=\frac{\sum _{i\in \{A,B,C\}}\frac{A_i}{|P_n{A}_i|}}{\sum _{i\in \{A,B,C\}}\frac{1}{|P_n{A}_i|}},$$ (при равных весах). Нужно учитывать модификации, если $P_n$ попадает точно в одну из вершин (схема коррекции). Плюсы: гибкий, эффективен для численных вычислений; минусы: нет простой закрытой формулы, требуется итерация и аккуратность при близости к вершинам.
3) Вариационные и аналитические обоснования
- Функция $F(P)$ выпукла в евклидовом пространстве; потому существует глобальный минимум и он единственен, за исключением граничного случая выбора вершины при угле $\ge 120^{\circ }$.
- Первый вариационный (дифференциальный) аргумент: рассмотреть малые смещения $P\mapsto P+\delta$ и потребовать нулевого первого приращения — это даёт векторное условие выше $\sum u_i=0$ (где $u_i$ — единичные векторы от $P$ к вершинам) и следовательно углы $120^{\circ }$.
- Второй вариационный аргумент (выпуклость) гарантирует, что найденная стационарная точка — минимум, и единственность при всех углах $<120^{\circ }$.
Условия единственности
- Если хотя бы один угол треугольника $\ge 120^{\circ }$, то единственный минимум — соответствующая вершина.
- Если все углы $<120^{\circ }$, то существует единственная внутренняя точка Ферма, удовлетворяющая угловому условию $120^{\circ }$.
Краткое сводное сравнение
- Геометрические методы дают чистую конструкцию и доказательство свойства $120^{\circ }$, удобны для построений и теорем.
- Координатно-численные методы (градиент, Ньютона, Вайцфельд) удобны для вычислений в общих положениях и для программной реализации.
- Вариационные/анализные методы дают строгие доказательства существования и единственности, объясняют условие $120^{\circ }$ и граничный случай вершины.
Это полно характеризует построение и методы для поиска точки $P$, минимизирующей $PA+PB+PC$.