Коротко и формально.
Обозначения: дан угол $A\in (0,180^{\circ })$ и стороны $a>0$ (напротив угла $A$) и $b>0$. По теореме синусов
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}.$$ Введём
$$x=\frac{b\sin A}{a},h=b\sin A.$$
Классификация (неоднозначность, отсутствие или единственное решение):
- Если $x>1$ (экв. $a<h$) — синуса >1, реального треугольника нет.
- Если $x=1$ (экв. $a=h$) — кандидатом является $B=90^{\circ }$. Этот кандидат даёт допустимый (ненулевой по площади) треугольник только если $A<90^{\circ }$ (тогда единственный треугольник, прямой угол в $B$). Если $A\ge 90^{\circ }$ тогда $A+B\ge 180^{\circ }$ и нет невырожденного треугольника (вырожденный случай при $A=90^{\circ }$ и $a=b$ — угол $C=0$).
- Если $x<1$ (экв. $a>h$) — возможно один или два решения:
- вычислить $B_1=\arcsin (x)$ (значение в интервале $(0,90^{\circ })$);
- второй кандидат $B_2=180^{\circ }-B_1$ (отличается от $B_1$ когда $B_1\ne 90^{\circ }$);
- каждый кандидат принимается только если сумма углов остаётся <$180^{\circ }$, т.е. если $A+B_i<180^{\circ }$.
- Если $A$ — острый ($A<90^{\circ }$) и одновременно $h<a<b$ (то есть $b\sin A<a<b$) — оба кандидата удовлетворяют $A+B_i<180^{\circ }$ → два разных треугольника.
- Если $A$ — острый и $a\ge b$ → только $B_1$ даёт $A+B_1<180^{\circ }$ → единственный треугольник.
- Если $A$ — тупой ($A>90^{\circ }$) — второй кандидат $B_2$ всегда даёт $A+B_2>180^{\circ }$, поэтому при $x<1$ ровно одно решение (если $x\le 1$ вообще допускает решение).
Формальный алгоритм перечисления всех решений:
1. Проверить входные данные ($A$ в градусах/радианах — единообразно, $a,b>0$).
2. Вычислить $x=\frac{b\sin A}{a}$.
3. Если $x>1$ — нет решений.
4. Иначе вычислить $B_1=\arcsin (x)$. Собрать список допустимых углов B:
- добавить $B_1$, если $A+B_1<180^{\circ }$;
- если $B_1\ne 90^{\circ }$, проверить $B_2=180^{\circ }-B_1$ и добавить, если $A+B_2<180^{\circ }$.
5. Для каждого принятого $B$ получить $C=180^{\circ }-A-B>0$ и остальные стороны через теорему синусов, например
$$c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$ 6. Полученный набор (углы A,B,C и стороны a,b,c) — все возможные невырожденные треугольники.
Замечание: при практическом применении проще работать через $x$ и явную проверку $A+B<180^{\circ }$; частые краткие условия — для $A<90^{\circ }$ два решения возможны только при $b\sin A<a<b$, в остальных случаях либо одно решение ($a\ge b$ или $A>90^{\circ }$ при $a>h$), либо ни одного ($a\le h$, с учётом вырожденного граничного случая).