Классизация:
- Абсолютно сходится при $p>1$.
- Условно сходится при $0<p\le 1$.
- Расходится при $p\le 0$.
Обоснование (кратко):
1) Абсолютная сходимость ($p>1$).
${\int }_1^{\infty }\frac{|\sin x|}{x^p}dx\le {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx$. Правая интеграл сходится ⇔ $p>1$. Значит при $p>1$ исходный интеграл сходится абсолютно.
2) Условная сходимость ($0<p\le 1$).
Применим тест Дирихле: пусть $G(T)={\int }_1^T\sin xdx$. $G(T)$ ограничена (колеблется, $|G(T)|\le 2$). Функция $g(x)=x^{-p}$ монотонно убывает и ${\lim }_{x\to \infty }g(x)=0$ при $p>0$. По тесту Дирихле интеграл
${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$ сходится. Для $p\le 1$ он не является абсолютно сходящимся (см. пункт 1), следовательно при $0<p\le 1$ сходимость условная.
3) Расходится при $p\le 0$.
Если $p=0$, ${\int }_1^T\sin xdx=[-\cos x{]}_1^T$ не имеет предела при $T\to \infty$. Если $p<0$, модуль дроби растёт, интеграл явно расходится по сравнению с неограниченной величиной.
Техники и где применимы:
- Сравнение с $\int 1/x^p$ (прямое сравнение) — для абсолютной сходимости (чтобы показать сх. при $p>1$) и для доказательства расходимости модульного интеграла при $p\le 1$ (через оценку средних значений $|\sin x|$ по периодам).
- Тест Дирихле (интегрирование по частям в форме теста) — удобен для доказательства условной сходимости при $0<p\le 1$: одна часть ($\int \sin x$) ограничена, другая монотонно стремится к нулю.
- Интегрирование по частям — полезно для явного представления хвостов: с $u=x^{-p},dv=\sin xdx$ получаем границу −cos⁡x/xp∣1T+p∫1Tcos⁡xxp+1 dx-\cos x/x^{p}\big|_1^T + p\int_1^T \frac{\cos x}{x^{p+1}}\,dx−cosx/xp 1T +p∫1T xp+1cosx dx; граничный член стремится к нулю при $p>0$, что помогает строить оценки и повторно применять тесты (Дирихле/Абеля) к оставшемуся интегралу.
Коротко: абсолютная сходимость ↔ $p>1$; при $0<p\le 1$ — сходимость условная (Дирихле); при $p\le 0$ — разходимся.