Пример 1 — некорректное сокращение:
Рассмотрим равенство $\frac{\cos x}{\cos x}=1$. При «сокращении» получаем $1=1$ и можно ошибочно заключить, что любое $x$ является решением. Но исходное выражение не определено при $\cos x=0$ (например $x=\frac{\pi }{2}$), поэтому эти точки исключаются. Сокращать множитель $f(x)$ в дроби можно только если заранее наложено условие $f(x)\ne 0$.
Пример 2 — неверная подстановка для ${\tan }^{2}x$:
Неправильно писать ${\tan }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. На деле
$${\tan }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x-1,$$ то есть видно, что при $\cos x=0$ левая часть не определена, а правая (вошедшая в ошибочную замену) могла бы быть конечной. Числовой контрпример: при $x=\frac{\pi }{4}$ ${\tan }^{2}x=1$, а $1-{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$ — неравенство.
Когда такие преобразования допустимы:
- Деление или сокращение по $f(x)$ допустимо только при предварительном условии $f(x)\ne 0$ на рассматриваемом множестве значений.
- Использовать тождество $A(x)=B(x)$ можно только если оно верно для всех $x$ из текущей области определения; особенно проверять точки, где появляются знаменатели, корни, логарифмы и т.п.
- Операции, меняющие обратимость (возведение в квадрат, взятие корня, умножение на переменную, переход к тангенсу/секу и т.д.), требуют последующей проверки полученных решений подстановкой в исходное уравнение.
Критерий «безопасной» подстановки тригонометрических выражений:
Подстановка $f(x)⇝g(x)$ безопасна тогда и только тогда, когда
1) множества определения совпадают или область определения исходного выражения входит в область определения $g$: $D_f\subseteq D_g$, и
2) $f(x)=g(x)$ для всех $x\in D_f$.
Практическая инструкция:
1. Выпишите область определения исходного выражения (исключите точки, где знаменатель $=0$, аргумент корня/логарифма недопустим и т.п.).
2. Перед сокращением/делением явно потребуйте соответствующего неравенства $\ne 0$.
3. После преобразований всегда подставьте полученные решения в исходное выражение для проверки (чтобы исключить потерю или появление посторонних корней).