Коротко: условие непрерывности в теореме о среднем значении для интегралов достаточно, но не необходимо; его можно ослабить ровно до свойства промежуточных значений (Darboux), а полностью убрать — нельзя (простые контрпримеры).
1) Стандартная теорема и доказательство (эскиз).
Если $f$ непрерывна на $[a,b]$, то пусть $m={\min }_{[a,b]}f$, $M={\max }_{[a,b]}f$. Тогда
$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a),$$ и поэтому среднее значение $\bar{f}:=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$ лежит в отрезке $[m,M]$. Непрерывность и теорема о промежуточных значениях дают $c\in (a,b)$ с $f(c)=\bar{f}$.
2) Можно ли ослабить непрерывность?
Да: достаточно, чтобы $f$ была интегрируема и обладала свойством промежуточных значений (Darboux). Тогда снова $\bar{f}\in [f_{\min },f_{\max }]$ и по Darboux существует $c$ с $f(c)=\bar{f}$. Это условие существенно слабее непрерывности (например, многие производные не являются непрерывными, но обладают Darboux‑свойством).
3) Контрпример, показывающий, что непрерывность нельзя убрать полностью.
Возьмём шаговую функцию на $[0,1]$:
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le x\le 1/2,\\ 0,& 1/2<x\le 1.\end{array}$$ Она Riemann‑интегрируема и ${\int }_0^{1}f(x)dx=1/2$, следовательно $\bar{f}=1/2$. Однако $f$ принимает только значения $0$ и $1$, то есть не существует точки $c$ с $f(c)=1/2$. Значит формулировка «интегрируемость» без дополнения не обеспечивает вывода теоремы.
Аналогично для любой функции, принимающей конечное (или вообще непереполненный) набор значений, можно устроить распределение мер так, чтобы среднее было значением, которого сама функция не принимает.
4) Итог / критерий минимальности.
Необходимое и достаточное для существования $c$ с $f(c)=\bar{f}$ — простое условие «$\bar{f}$ лежит в образе $f([a,b])$». Для практических достаточно слабых условий достаточно потребовать, чтобы $f$ была интегрируема и имела свойство промежуточных значений (Darboux). Непрерывность даёт это автоматически, но она не единственный возможный достаточный критерий.