Неточность. Утверждение «для несмещённой оценки среднего её дисперсия обязательно уменьшается вдвое при увеличении размера выборки вдвое при любых распределениях» неверно: никакой общей теоремы для произвольных несмещённых оценок и произвольных зависимостей между наблюдениями нет.
Корректное утверждение (простейший частный случай). Пусть $X_1,\dots ,X_n$ — независимые и одинаково распределённые (i.i.d.) случайные величины с конечной дисперсией ${\sigma }^2=\mathrm{Var}(X_i)$. Тогда выборочное среднее
$${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$ несмещено и
$$\mathrm{Var}({\bar{X}}_n)=\frac{{\sigma }^2}{n}.$$ Отсюда при переходе $n\mapsto 2n$ дисперсия действительно делится на 2:
$$\mathrm{Var}({\bar{X}}_{2n})=\frac{{\sigma }^2}{2n}=\frac{1}{2}\mathrm{Var}({\bar{X}}_n).$$
Условия, при которых это верно (обобщённо):
- независимость (или по крайней мере отсутствие корреляции между наблюдениями: $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=0$ для $i\ne j$);
- одинаковая (общая) конечная дисперсия ${\sigma }^2$ для всех наблюдений;
- используется именно выборочное среднее (или ещё некоторая несмещённая линейная комбинация с коэффициентами $1/n$).
Общие формулы для ориентира:
- для независимых, но не обязательно одинаково распределённых с $\mathrm{Var}(X_i)={\sigma }_i^2$:
$$\mathrm{Var}({\bar{X}}_n)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2.$$ Переход $n\to 2n$ не обязательно даёт деление на 2.
- при наличии корреляций
$$\mathrm{Var}({\bar{X}}_n)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\mathrm{Cov}(X_i,X_j),$$ и тогда поведение при увеличении $n$ зависит от ковариаций.
Контрпримеры (иллюстрируют неточность):
- если все $X_i$ одинаковы: $X_i\equiv X$, то ${\bar{X}}_n=X$ и $\mathrm{Var}({\bar{X}}_n)=\mathrm{Var}(X)$ не меняется при возрастании $n$;
- если оценка игнорирует новые данные (напр., $T_n=X_1$ для всех $n$), то она остаётся несмещённой, но $\mathrm{Var}(T_n)$ не уменьшается.
Вывод: утверждение верно только в специальных условиях (обычно i.i.d. с конечной дисперсией и для выборочного среднего).