Кратко и по сути — когда лучше применять формулу корней, когда — полный квадрат или разложение на множители.
Общие замечания:
- Уравнение $a{x}^2+bx+c=0$, $a\ne 0$. Если $a=0$ — это линейное уравнение.
- Дискриминант $D=b^2-4ac$. Его значение влияет на выбор метода.
1) Формула корней (всегда работоспособна)
- Формула: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$.
- Применять когда: нужны точные корни при любых коэффициентах, корни могут быть иррациональными или комплексными, или когда факторизация не очевидна.
- Минус: при вычислениях в плавающей точке возможна потеря точности при вычитании больших близких чисел (катастрофическое сокращение). Для улучшения устойчивости вычислять сначала
$$q=-\frac{1}{2}(b+\mathrm{sgn}(b)\sqrt{D}),x_1=\frac{q}{a},x_2=\frac{c}{q}.$$
2) Разложение на множители (факторизация)
- Применять когда: коэффициенты целые/рациональные и дискриминант $D$ — полный квадрат, или корни очевидны по подстановке; когда требуется представление в виде $(px+q)(rx+s)$.
- Быстро и экономно при ручных вычислениях: если $c=0$ — сразу $x=0$ и $x=-\frac{b}{a}$; если $a=1$ и число $c$ удобно раскладывается.
- Ограничение: не годится, если корни иррациональны или комплексны (в школьной факторизации обычно ищут рациональные множители).
3) Полный квадрат (метод выделения квадрата)
- Применять когда: нужно получить каноническую/вершинную форму для графика или оптимизации, найти вершину параболы; когда $b$ и $a$ удобны для выделения квадрата; при выводе формулы корней.
- Пригоден для случая $b$ чётно делится на $2a$ (удобнее арифметически). Пример преобразования:
$$a{x}^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{D}{4a}.$$ - Даёт быстрый вывод вершины $(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a})$ и очевидно показывает наличие/отсутствие действительных корней по знаку $D$.
Краткое практическое руководство (правило выбора)
- Если нужно просто корни при любых данных → формула корней (с поправкой на численную устойчивость).
- Если легко заметить целочисленные/рациональные множители или $D$ — полный квадрат → факторизация быстрее и чище.
- Если требуется вершина параболы, преобразование в канонический вид или аналитическая оценка значений → полный квадрат.
- Частные быстрые случаи: $c=0$ → факторизация $x(ax+b)=0$; $b=0$ → $x=\pm \sqrt{-c/a}$ (полный квадрат/простая алгебра).
Это сжатая схема: выбирайте метод по удобству вычислений и по тому, чего вы добиваетесь (корни vs. форма параболы vs. аналитическая простота).