Кратко и по существу — набор методов и критериев.
1) Найти неподвижные точки:
- Решить $f(x)=x$. Любая предельная точка $L$ последовательности обязана быть неподвижной: если $x_n\to L$, то $f(L)=L$.
2) Метод монотонности и ограниченности:
- Если существует отрезок $I=[a,b]$ такой, что $f(I)\subset I$ и $f$ монотонна на $I$, то последовательность остаётся в $I$.
- Если дополнительно $x_{n+1}\ge x_n$ (или $\le$) и последовательность ограничена, то по монотонно-сходимой теореме $x_n$ сходится к некоторому $L\in I$ и $f(L)=L$.
- Условия для направления монотонности: при возрастании $f$ достаточно, чтобы $f(x_0)\ge x_0$ (тогда возрастающая) или $f(x_0)\le x_0$ (убывающая).
3) Метод сжимающего отображения (Banach):
- Если на $I$ выполняется липшицевость $|f(x)-f(y)|\le q|x-y|$ с $0\le q<1$, то существует единственная неподвижная точка $L$ на $I$ и для любого $x_0\in I$ $x_n\to L$.
- Оценка погрешности: $|x_n-L|\le q^n|x_0-L|$ (ускоренная геометрическая сходимость).
4) Линеаризация (локальная устойчивость):
- Пусть $L$ — неподвижная точка и $f$ дифференцируема в окрестности $L$. При малой невязке $e_n=x_n-L$ справедливо
$e_{n+1}=f^{\prime }(L)e_n+o(e_n).$ - Следствия:
- Если $|f^{\prime }(L)|<1$, то $L$ локально притягивающая точка и $e_n$ убывает геометрически с коэффициентом примерно $|f^{\prime }(L)|$.
- Если $|f^{\prime }(L)|>1$, то $L$ отталкивающая точка (малые возмущения растут).
- Если $f^{\prime }(L)=0$, то сходимость может быть суперлинейной; порядок определяется первым ненулевым членом в разложении Тейлора:
$f(L+e)=L+a_k{e}^k+o(e^k),a_k\ne 0,k\ge 2,$ тогда $e_{n+1}\approx a_k{e}_n^k$ (порядок сходимости $k$).
- Если $f^{\prime }(L)=-1$ или $|f^{\prime }(L)|=1$, линейный анализ не даёт окончательного вывода — нужно учитывать высшие члены (нормальные формы, анализ второго порядка или функция Ляпунова).
5) Альтернативные и вспомогательные подходы:
- Кобвеб-график (график $y=f(x)$ и прямая $y=x$) даёт интуицию о поведении и возможных циклах.
- Поиск и анализ нетривиальных предельных циклов: если последовательность не сходится к точке, возможны пределы-циклы (периодичность) или хаос; для проверки используют производную композиций $f^{(m)}$.
- Ляпунов-функции позволяют доказывать глобальную устойчивость для более общих $f$.
- Для ускорения сходимости — методы экстраполяции (Aitken) или переход к итерационной функции, специально сконструированной для лучшей сходимости (например, метод Ньютона при поиске корня $g(x)=f(x)-x$).
6) Как выбирать линеаризационный подход на практике:
- Сначала найти все решения $f(x)=x$.
- Для каждого решить, можно ли применить банаховскую теорему (поиск $q<1$ на подходящем интервале) — это даёт глобальную гарантию и быструю проверку.
- Если глобально не выполнено, проверить локально производную $f^{\prime }(L)$:
- $|f^{\prime }(L)|<1$ → локальная сходимость, оценка скорости.
- $|f^{\prime }(L)|>1$ → точка отталкивает.
- $|f^{\prime }(L)|=1$ → раскрыть Тейлор и найти первый ненулевой старший член; анализировать порядок и знак.
- Если требуются глобальные утверждения при сложной структуре $f$, применить Ляпунов-функцию или изучить поведение итераций графически/численно.
Кратко: ищем неподвижные точки, пытаемся показать инвариантность и сжимаемость (банах) для глобальной сходимости; для локальной — линеаризуем в точке и смотрим на $f^{\prime }(L)$ (меньше единицы — притяжение, больше — отталкивание, равенство — анализ высших порядков).