Критерии выбора метода для вычисления определённого интеграла:
- Подстановка удобна, если подынтегральная функция представляет собой композицию $f(g(x))$ и при замене $t=g(x)$ появляется множитель пропорциональный $g^{\prime }(x)$, либо замена упрощает пределы интегрирования (симметрия, очевидные значения): пример шаблона $\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx$.
- Подстановка полезна, если она превращает сложную функцию в элементарную или устраняет корни/квадраты/тригонометрию (например, $x^2\to t$, $x=\sin t$, $x=\tan t$).
- Метод интегрирования по частям хорош, когда интегранд — произведение двух функций, одна легко дифференцируется, другая легко интегрируется, или когда применение по частям понижает степень/сложность (полином × лог/arc/funk): выбирают $u$ как «легко дифференцируемое» или «замедляющее» и $dv$ как «легко интегрируемое».
- Для определённых интегралов учитывайте граничные слагаемые: если при частях граничный вклад прост (нулевой или легко вычисляемый), метод выгоден.
- Если обе техники возможны, выбирайте ту, которая даёт меньше шагов/избегает обратимых неэлементарных интегралов (например, не приводит к интегралу вида $\int e^{x^2}dx$).
- Практическое правило: сначала пробуйте подстановку, если очевидна подходящая $g(x)$; если подстановка не упрощает — пробуйте части, особенно при наличии логарифмов, арктангенсов, степеней.
Пример, где оба метода возможны, но один значительно проще:
Рассмотрим
$$I={\int }_0^1\arctan xdx.$$
1) Метод интегрирования по частям (короткий):
Пусть $u=\arctan x,dv=dx$. Тогда $du=\frac{dx}{1+x^2},v=x$. Получаем
$$I=[x\arctan x{]}_0^1-{\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}[\ln (1+x^2){]}_0^1=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\ln 2.$$
2) Подстановка $x=\tan t$ (более громоздко):
Пусть $x=\tan t\Rightarrow dx={\sec }^{2}tdt$, пределы $x=0\to t=0,x=1\to t=\pi /4$. Тогда
$$I={\int }_0^{\pi /4}t{\sec }^{2}tdt.$$ Теперь приходится снова применять по частям: пусть $u=t,dv={\sec }^{2}tdt\Rightarrow v=\tan t$. Тогда
$$I=[t\tan t{]}_0^{\pi /4}-{\int }_0^{\pi /4}\tan tdt=\frac{\pi }{4}-[-\ln \cos t{]}_0^{\pi /4}=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\ln 2,$$ тот же результат, но путь длиннее (подстановка привела к дополнительным преобразованиям и повторной интеграции по частям).
Вывод: выбирайте подстановку, если она напрямую приводит к элементарному интегралу (наличие $g^{\prime }(x)$ в множителе или очевидное упрощение пределов). Выбирайте части, когда интегранд — удобное произведение (полином × лог/arc/триг/exp) и границы дают простые граничные значения. В примере интегрирование по частям было короче и проще, чем предваряющая подстановка.