Кратко — ошибка в утверждении в том, что условие $a_n\to 0$ необходимо, но не достаточно для сходимости ряда.
Объяснение и контрпример
- Необходимо: если ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ сходится (частичные суммы $s_n\to S$), то
$$a_n=s_n-s_{n-1}\to S-S=0.$$ - Но обратного не следует. Контрпример: гармонический ряд
$$a_n=\frac{1}{n},a_n\to 0,$$ однако
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\infty$$ (это можно видеть из интегрального теста или группировкой членов).
Корректные условия
- Необходимое условие (единственное простое): $a_n\to 0$ — необходимо, но не достаточно.
- Необходимое и достаточное (формулировка): ряд $\sum a_n$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм $(s_n)$ является фундаментальной (Cauchy). То есть
∑n=1∞an сходится ⟺ ∀ε>0 ∃N ∀m>n≥N: ∣∑k=n+1mak∣<ε. \sum_{n=1}^\infty a_n \ \text{сходится} \iff \forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall m>n\ge N:\ \left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right|<\varepsilon.
n=1∑∞ an сходится⟺∀ε>0 ∃N ∀m>n≥N: k=n+1∑m ak <ε.
Достаточные (удобные проверочные) признаки с примерами
- Абсолютная сходимость: если $\sum |a_n|$ сходится, то $\sum a_n$ сходится. Пример: $a_n=1/2^n$.
- Признак сравнения: для положительных членов, если $0\le a_n\le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то $\sum a_n$ сходится. Пример: для $a_n=1/n^2$ сравнение с $b_n=1/n^{3/2}$.
- p‑ряд: $\sum 1/n^p$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$. (Гармонический — частный случай $p=1$.)
- Интегральный признак: для положительной монотонно убывающей функции $f$ с $f(n)=a_n$,
$$\sum a_n\text{и}{\int }_1^{\infty }f(x)dx$$ сходятся или расходятся одновременно.
- Признак Лейбница (чередующийся ряд): если $b_n\ge 0$, $b_n$ монотонно убывает и $b_n\to 0$, то $\sum (-1{)}^n{b}_n$ сходится. Пример условно сходящегося ряда: $a_n=(-1{)}^{n+1}/n$.
- Признак Д’Аламбера (отношений): если ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }|a_{n+1}/a_n|<1$, то ряд $\sum a_n$ сходится; если $>1$, то расходится. Пример: геометрический ряд $a_n=r^n$ сходится при $|r|<1$.
- Признак корней: если ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }|a_n{|}^{1/n}<1$, то ряд сходится; если $>1$, то расходится.
Короткие примеры для иллюстрации
- Термы идут в ноль, но ряд расходится: $a_n=1/n$.
- Абсолютно сходящийся: $a_n=1/2^n$ ($\sum |a_n|=\sum 1/2^n$ сходится).
- Условно сходящийся: $a_n=(-1{)}^{n+1}/n$ (Лейбница).
- Не идёт в ноль ⇒ ряд расходится: если $a_n\nrightarrow 0$, то $\sum a_n$ расходится.
Итого: утверждение «$a_n\to 0$ ⇒ $\sum a_n$ сходится» ложно; корректная необходимая и достаточная формулировка даётся через критерий Коши (фундаментальность частичных сумм). Для практической проверки используют признаки (абсолютная сходимость, сравнение, p‑ряд, Лейбница, множ. тесты и т.д.).