Коротко о критериях и примерах.
Определения и ключевые утверждения
- Абсолютная сходимость: ряд $\sum a_n$ абсолютно сходится, если сходится ряд положительных членов $\sum |a_n|$. Абсолютная сходимость влечёт сходимость ряда $\sum a_n$.
- Условная сходимость: ряд сходится, но не абсолютно, т.е. $\sum a_n$ сходится, но $\sum |a_n|$ расходится.
- Критерий Коши: $\sum a_n$ сходится тогда и только тогда, когда для всякого $\epsilon >0$ существует $N$ такое, что для всех $m>n\ge N$ верно ∣∑k=n+1mak∣<ε\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right|<\varepsilon ∑k=n+1m ak <ε.
Основные тесты (для абсолютной сходимости или сходимости)
- Признак сравнения: если $0\le |a_n|\le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то $\sum a_n$ абсолютно сходится; если $\sum b_n$ расходится и $|a_n|\ge c{b}_n$ с $c>0$, то $\sum a_n$ расходится.
- Признак Даламбера (радио): если ρ=lim sup⁡n→∞∣an+1an∣\rho=\limsup_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|ρ=limsupn→∞ an an+1 , то при $\rho <1$ ряд абсолютно сходится, при $\rho >1$ — расходится.
- Признак Коши (корневой): если $L={\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}$, то при $L<1$ — абсолютная сходимость, при $L>1$ — расходимость.
- Интегральный признак: для монотонно убывающей $f\ge 0$ справедливо, что $\sum f(n)$ и ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ ведут себя одинаково (обе сходятся или обе расходятся).
- Признак Лейбница (для чередующихся): если $b_n\ge 0$, $b_{n+1}\le b_n$ и $b_n\to 0$, то $\sum (-1{)}^{n-1}{b}_n$ сходится; остаток по модулю не превосходит первого отброшенного члена.
О перестановках и теорема Римана
- Если ряд абсолютно сходится, любые перестановки членов дают тот же сумму.
- Если ряд сходится условно (рекомендую классический случай вещественных членов), то по теореме Римана для любого заданного числа $S\in \mathbb{R}$ существует перестановка членов исходного ряда, дающая сумму $S$; можно также получить расходимость. То есть перестановки могут менять сумму произвольно.
Пример, где перестановка меняет сумму
Возьмём чередующийся гармонический ряд
$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\ln 2.$$ Этот ряд сходится условно (модульный гармонический ряд расходится).
Рассмотрим перестановку, при которой сперва идут все положительные члены, затем все отрицательные:
$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots -(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots ).$$ Частичные суммы после $m$ положительных членов примерно растут как $\frac{1}{2}\ln m$ и стремятся к $+\infty$; значит такая перестановка даёт расходящийся ряд (частичные суммы неограниченно растут). Значит перестановка изменила поведение/сумму ряда (из конечной $\ln 2$ в расходимость).
(По теореме Римана можно, изменяя порядок точнее, получить любую заданную конечную сумму.)