Кратко и по существу — какие приёмы реально помогают и когда их применять.
Классифицируйте особенность: алгебраическая $f(x)\sim (b-x{)}^{-\alpha }$ ($\alpha <1$ — интегрируемая), логарифмическая $f(x)\sim \ln (b-x)$, или главное значение (Коши) $\sim 1/(x-c)$. Для каждой ситуации — подходящие приёмы:
1) Выделение/вычитание сингулярной части (ренормировка)
- Если $f(x)=(b-x{)}^{-\alpha }g(x)$ и $g$ гладкая, то представьте
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^b(b-x{)}^{-\alpha }g(b)dx+{\int }_a^b(b-x{)}^{-\alpha }(g(x)-g(b))dx.$$ Первый интеграл берётся аналитически: ${\int }_a^b(b-x{)}^{-\alpha }dx=\frac{(b-a{)}^{1-\alpha }}{1-\alpha }$. Второй интеграл уже менее сингулярен и удобно числить стандартными методами.
2) Подстановка степени (аннулирует алгебраическую сингулярность)
- Для $f(x)\sim (b-x{)}^{-\alpha }$ возьмите $x=b-t^p$ с
$$p=\frac{1}{1-\alpha }.$$ Тогда $dx=-p{t}^{p-1}dt$ и степенной показатель в преобразованном интегранде обращается в нуль, т.е. сингулярность устраняется локально. Практически обычно разбивают интервал и применяют эту замену только на маленьком окне возле $b$.
3) Квадратура с весом (специальные формулы)
- Если поведение известно как $(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }$ на $[-1,1]$, используйте гауссову квадруру Джакоби (Gauss–Jacobi) — узлы/веса учитывают вес $(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }$ и дают высокую точность без преобразований.
4) Логарифмическая особенность
- Подстановка $t=-\ln (b-x)$ (или $x=b-e^{-t}$) делает $\ln (b-x)$ гладким относительно $t$: $dx=-e^{-t}dt$. После преобразования интегранду часто удобно интегрировать численно.
- Альтернатива — вычесть аналитический лог-вклад аналогично пункту (1).
5) Двойное экспоненциальное (DE, tanh–sinh) преобразование
- Универсально для слабых алгебраических и логарифмических особенностей на концах:
$$x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\tanh \left(\frac{\pi }{2}\sinh t\right).$$ При этом интеграл по $t\in (-\infty ,\infty )$ быстро сходится и даёт высокую точность с равномерной сеткой. Часто самый простой и надёжный метод, если тип сингулярности неизвестен.
6) Разбиение интервала + локальная замена
- Разбейте $[a,b]=[a,b-\epsilon ]\cup [b-\epsilon ,b]$. На первом отрезке используйте обычную квадратуру; на втором примените локальную подстановку (пункт 2) или DE. Это уменьшает вычисления и контролирует погрешность.
7) Главные значения (Cauchy, $1/(x-c)$)
- Интеграл в смысле главного значения:
$$p.v.{\int }_a^b\frac{\varphi (x)}{x-c}dx=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }({\int }_a^{c-ϵ}+{\int }_{c+ϵ}^b).$$ Практически: разделите по $c$ и используйте симметричное вычитание, либо применяйте специализированные квадратурные формулы (самоподобные узлы для сингулярных ядер) или tanh–sinh (он корректно аппроксимирует PV в большинстве случаев).
8) Интегрирование по частям / повышение гладкости
- Если возможно, примените интегрирование по частям, чтобы уменьшить порядок сингулярности (например, когда сингулярность связана с производной).
Практическая последовательность действий
- Определите тип сингулярности (оцените асимптотическое поведение).
- Если аналитический вклад известен — вычтите и вычислите отдельно.
- Если алгебраическая с известным $\alpha$ — используйте степенную подстановку или Gauss–Jacobi (при весе).
- Если тип неизвестен или смешанный — используйте DE / tanh–sinh.
- Для численной реализации: тестируйте разные ε/параметры, контролируйте сходимость при сужении сетки.
Замечание о недопустимых случаях
- Если $\alpha \ge 1$ (неинтегрируемая особенность), требуется серьёзная регуляризация или рассмотрение в смысле главного значения / обобщённых функций.
Если нужно, приведу короткие код‑образцы (Python/NumPy/SciPy) для конкретной подстановки или пример использования tanh–sinh / Gauss–Jacobi.