Коротко — потому что параметризация часто:
- использует геометрию уравнений (окружность, гипербола, прямая и т.п.), что даёт удобную одну свободную переменную;
- снижает степень получаемой алгебраической уравнения или переводит задачу в более удобную однупеременнуючную форму (тригонометрическую/рациональную), упрощает численное решение;
- даёт явное описание всех решений (семейство), исключая лишние корни, возникающие при исключении переменных.
Иллюстрация на конкретной системе:
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1,\\ y=x^3.\end{array}$$
Прямое подстановкой: $x^2+(x^3{)}^2=1\Rightarrow x^6+x^2-1=0.$ Введя $z=x^2$ получаем кубическое
$$z^3+z-1=0,$$ т.е. всё равно нужно решать нелёгкое уравнение и затем брать корни для $x=\pm \sqrt{z}$.
Параметризация окружности: положим $x=\cos t,y=\sin t$. Тогда
$$\sin t={\cos }^{3}t.$$ Для $\cos t\ne 0$ разделим на ${\cos }^{3}t$ или выразим через тангенс: пусть $u=\tan t$. Тогда ${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+u^2}$ и
$$u={\cos }^{2}t=\frac{1}{1+u^2}\Rightarrow u^3+u-1=0.$$ Получаем опять кубическое, но теперь в переменной $u=\tan t$. Это удобно: уравнение монотонно, имеет единственный вещественный корень $u\approx 0.68233$. Тогда
$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\approx 0.8263,x=\cos t\approx 0.8263,y=x^3\approx \mathrm{0.564.}$$
Почему это полезно на практике:
- параметризация дала ясную интерпретацию переменной (угол на окружности) и простую однопараметрическую замену $u=\tan t$, что облегчило анализ существования и поиск единственного вещественного решения;
- в других задачах параметризация может снизить степень полинома (или привести к рациональному уравнению), убрать лишние ветви решений и упростить численные методы.
Вывод: переход к параметризации стоит применять, когда одно из уравнений описывает легко параметризуемое множество (окружность, конус, прямая, и т.д.) — это часто упрощает как аналитическое, так и численное решение системы.