Коротко и по существу — разберём стандартное доказательство теоремы о среднем значении для интегралов и укажем, где именно используется непрерывность и какие условия можно ослабить.
Стандартное доказательство (для непрерывной $f$ на $[a,b]$):
1) По теореме о крайнем значении $f$ достигает минимум $m$ и максимум $M$ на $[a,b]$.
2) Отсюда $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$. Следовательно среднее значение
$$A=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$ удовлетворяет $m\le A\le M$.
3) По непрерывности и теореме о промежуточных значениях $f$ принимает все значения из отрезка $[m,M]$, значит существует $c\in [a,b]$ с $f(c)=A$. Это и есть требуемое.
Где используется непрерывность:
- Для гарантии существования и достижения минимума и максимума на отрезке (пункт 1) требуется непрерывность на всём $[a,b]$ (экстремум теорема).
- Для вывода, что значение $A$ реально принимается функцией (пункт 3) используется теорема о промежуточных значениях (IVT), тоже требующая непрерывности.
Какие условия можно ослабить:
- Для неравенств вида $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$ достаточно, чтобы $f$ была ограничена и интегрируема (Riemann или Lebesgue). Здесь под $m$ и $M$ можно понимать ${\inf }_{[a,b]}f$ и ${\sup }_{[a,b]}f$; достижение этих значений не нужно для самих неравенств.
- Чтобы гарантировать существование $c$ с $f(c)=A$ непрерывность можно ослабить до любого свойства, обеспечивающего, что образ множества $[a,b]$ содержит $A$. Достаточные ослабления:
- $f$ обладает свойством Дарбу (промежуточные значения; т.е. IVT) на $[a,b]$ — тогда шаг 3 работает без полной непрерывности.
- либо достаточно, чтобы $f$ была интегрируема и фактически достигала на отрезке значений $m$ и $M$ и имела промежуточные значения между ними (например, достигает $A$ прямо) — то есть достаточно, чтобы $A$ принадлежал множеству значений $f([a,b])$.
- В обобщённой форме (с весом $g\ge 0$, интегрируемым): непрерывность $f$ используется аналогично; можно ослабить до того, что $f([a,b])$ содержит значение
$$A_g=\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}.$$
Контрпример, показывающий, что интегрируемость без дополнительных свойств не достаточна: пусть
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in [a,(a+b)/2),\\ 2,& x\in [(a+b)/2,b].\end{array}$$ Тогда $f$ — (Riemann) интегрируема, ${\int }_a^{b}f=(b-a)$, среднее $A=1$, но ни в одной точке $f(x)=1$. То есть интегрируемость и даже boundedness не гарантируют существование точки с $f(c)=A$.
Вывод: непрерывность нужна именно для того, чтобы обеспечить достижение экстремумов и (или) промежуточных значений; если вместо полной непрерывности вы гарантируете эти свойства (достижение min/max и/или Darboux-свойство, либо прямо что $A\in f([a,b])$), то теорема остаётся верной.