Коротко: классический вывод «менять — выгодно» верен при чётких допущениях о поведении ведущего; интуиция вводит в заблуждение, когда эти допущения не оговорены.
Классическая формулировка и расчёт
- Есть три двери; за одной машина, за двумя — козы. Игрок выбирает дверь. Ведущий, знающий, где машина, открывает одну из двух оставшихся дверей, обязательно показывая козу, и предлагает поменять выбор на оставшуюся закрытую дверь.
- Вероятности: изначальная выбранная дверь содержит машину с вероятностью $1/3$, содержит козу с вероятностью $2/3$. Если изначально выбрана коза (с вероятностью $2/3$), ведущий вынужден открыть другую козу, и при смене игрок выигрывает. Если изначально выбрана машина (с вероятностью $1/3$), смена ведёт к проигрышу. Следовательно
$$P(\text{выигрыш при смене})=2/3,P(\text{выигрыш при сохранении})=1/3.$$
Почему интуиция обычно ошибается
- После того как ведущий открыл дверь с козой, кажется, что осталось две двери и шансы $1/2$–$1/2$. Это игнорирует информацию о правиле действия ведущего: он не выбирал случайную из двух оставшихся дверей независимо от местонахождения приза, а целенаправленно открыл козу, что изменяет вероятностное распределение.
Ключевые гипотезы, которые определяют оптимальную стратегию
1. Ведущий знает, где машина.
2. Ведущий всегда открывает одну из невыбранных дверей и обязательно показывает козу (никогда не открывает машину).
3. Если у ведущего есть выбор между двумя козами, он выбирает одну по заранее определённому (возможно равновероятному) правилу.
4. Ведущий всегда предлагает поменять выбор.
При выполнении всех четырёх гипотез оптимально менять (вероятность выигрыша при смене $2/3$).
Варианты и как меняется ответ
- Если ведущий открывает одну из оставшихся дверей случайно, не зная, где машина, и вы видите, что он открыл козу, то условные вероятности другие. В этом случае
$$P(\text{ведущий открыл козу})=1/3\cdot 1+2/3\cdot 1/2=2/3,$$ и
$$P(\text{машина за изначальной дверью}\mid \text{ведущий открыл козу})=\frac{1/3}{2/3}=1/2,$$ значит после такого наблюдения смена и сохранение дают по $1/2$ — менять не обязательно выгодно.
- Если ведущий может иногда не предлагать смену, или его выбор зависит от скрытых правил (например, хочет обмануть, избегает или предпочитает показывать определённую дверь), то условия симметрии ломаются и оптимальная стратегия зависит от этих правил.
- Обобщение на $n$ дверей: если игрок выбирает одну дверь, а ведущий, зная место приза, открывает $n-2$ козьих дверей и предлагает сменить на единственную оставшуюся, то
$$P(\text{выигрыш при смене})=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}.$$
Краткий итог
- Интуиция «две оставшиеся двери — по $50\%$» верна только если ведущий выбирал дверь полностью независимо от расположения приза; в классическом варианте ведущий действует информированно, и поэтому смена даёт преимущество. Всегда четко формулируйте (1) знание ведущего, (2) его правило выбора двери при наличии выбора, (3) обязательность показа козы и (4) обязательство предложить смену — эти гипотезы определяют оптимальную стратегию.