Кратко и по делу.
1) Анализ уравнения и число корней.
- Рассмотрим $f(x)=\ln x-x+2$ на $x>0$. Тогда
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1,f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}.$$ - Пределы: ${\lim }_{x\to 0+}f(x)=-\infty ,{\lim }_{x\to \infty }f(x)=-\infty$. Критическая точка при $f^{\prime }(x)=0$ даёт $x=1$ и максимум $f(1)=1>0$.
- Следовательно по непрерывности $f$ есть ровно два корня: один в $(0,1)$, другой в $(1,\infty )$.
2) Точное представление через функцию Ламберта.
- Эквивалентно $x=e^{x-2}$, откуда
$$x{e}^{-x}=e^{-2}⟹(-x)e^{-x}=-e^{-2}.$$ Значит
$$x=-W_k(-e^{-2}),k=0,-1,$$ где $W_0$ и $W_{-1}$ — две вещественные ветви функции Ламберта (так как $-e^{-2}\in [-1/e,0)$). Это даёт оба корня.
3) Численные значения (две значащие цифры для примера):
$$x_1\approx 0.15844,x_2\approx \mathrm{3.14619.}$$
4) Оценка распространённых приближений и замечания.
- Линейная аппроксимация $\ln x\approx x-1$ (ряд в окрестности $1$) тут бессмысленна для нахождения корней, потому что она даёт тождество, сводящее уравнение к $x-1=x-2$ — ошибка погрешности сравнима с самому слагаемому и результат неверен.
- Любая аппроксимация требует контроля остаточного члена (оценки Тейлора) и выбора области, где погрешность мала.
5) Надёжные численные методы с доказанной сходимостью.
- Бисекция: для каждого корня можно взять явный отрезок-бракет (например, для левого $[0.15,0.3]$, для правого $[3,3.2]$) и применять метод деления отрезка. Гарантированная (линейная) сходимость по теореме Больцано — простая и надежная методика.
- Метод простых итераций (Banach): переписать как
$$x=g(x).$$ Для правого корня удобно $g(x)=\ln x+2$. На любом отрезке $[a,b]\subset (1,\infty )$ с $a\ge 2$ имеем $|g^{\prime }(x)|=1/x\le 1/2<1$ и $g([a,b])\subset [a,b]$, значит по теореме Банаха — глобальная сходимость на этом отрезке. Для левого корня лучше взять $g(x)=e^{x-2}$: на отрезке, например, $[0.1,0.5]$ имеем $|g^{\prime }(x)|=e^{x-2}\le e^{-1.5}<1$ и $g([0.1,0.5])\subset [0.1,0.5]$ — тоже сходимость.
- Метод Ньютона:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{\ln x_n-x_n+2}{1/x_n-1}.$$ Имеет квадратичную локальную сходимость при выборе начального приближения достаточно близкого к корню и при ненулевой производной в окрестности. Важно не стартовать слишком близко к $x=1$, где $f^{\prime }(1)=0$ (это может тормозить или нарушать сходимость).
- Комбинация: использовать бисекцию для получения грубого приближения, затем переключиться на Ньютон для быстрого уточнения — это даёт гарантии и скорость.
6) Рекомендация.
- Для гарантии используйте сначала бисекцию (или фикс‑итерацию с проверяемым условием сжатия) для получения приближения с несколько знаков точности, затем метод Ньютона для квадратичного уточнения. Если нужна аналитическая форма — использовать выражение через Ламберта $x=-W_k(-e^{-2})$.
Если нужно, могу привести подробные шаги итераций (бисекция / Ньютон) для получения корней с заданной точностью.