Рассмотрите вероятностьную задачу: двое игроков бросают по одной монете до первого орла. Обсудите модель взаимозависимости и получите распределения числа бросков и вероятность выигрыша первого игрока, если одна из монет нечестная
Рассмотрите вероятностьную задачу: двое игроков бросают по одной монете до первого орла. Обсудите модель взаимозависимости и получите распределения числа бросков и вероятность выигрыша первого игрока, если одна из монет нечестная
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
- Каждый раунд оба игрока одновременно бросают свои монеты; броски независимы между игроками и во времени.
- Вероятность орла у первого = ppp, у второго = qqq (одна из монет нечестная значит p≠qp\neq qp=q в общем случае).
Распределения числа бросков до первого орла у каждого игрока.
- Число бросков до первого орла у первого игрока NAN_ANA имеет геометрическое распределение
Pr(NA=k)=(1−p) k−1p, k=1,2,…\displaystyle \Pr(N_A=k)=(1-p)^{\,k-1}p,\ k=1,2,\dotsPr(NA =k)=(1−p)k−1p, k=1,2,….
- Аналогично для второго: Pr(NB=k)=(1−q) k−1q\displaystyle \Pr(N_B=k)=(1-q)^{\,k-1}qPr(NB =k)=(1−q)k−1q.
Распределение числа раундов до окончания игры (минимум).
- Пусть N=min(NA,NB)N=\min(N_A,N_B)N=min(NA ,NB ) — номер раунда, в котором появляется первый орёл у кого-либо. Тогда
Pr(N=k)=(1−p) k−1(1−q) k−1(1−(1−p)(1−q)), \Pr(N=k)=(1-p)^{\,k-1}(1-q)^{\,k-1}\Big(1-(1-p)(1-q)\Big),
Pr(N=k)=(1−p)k−1(1−q)k−1(1−(1−p)(1−q)), т.е. NNN геометрически распределён с параметром 1−(1−p)(1−q)=p+q−pq\displaystyle 1-(1-p)(1-q)=p+q-pq1−(1−p)(1−q)=p+q−pq.
- Математическое ожидание:
EN=1p+q−pq.\displaystyle \mathbb{E}N=\frac{1}{p+q-pq}.EN=p+q−pq1 .
Вероятность выигрыша первого игрока.
- Событие «первый игрок выигрывает» эквивалентно NA<NBN_A<N_BNA <NB . По независимости
Pr(NA<NB)=∑k=1∞Pr(NA=k)Pr(NB>k)=∑k=1∞p(1−p)k−1(1−q)k. \Pr(N_A<N_B)=\sum_{k=1}^\infty \Pr(N_A=k)\Pr(N_B>k)
=\sum_{k=1}^\infty p(1-p)^{k-1}(1-q)^k.
Pr(NA <NB )=k=1∑∞ Pr(NA =k)Pr(NB >k)=k=1∑∞ p(1−p)k−1(1−q)k. Суммируя геометрическую прогрессию получаем
Pr(первый выигрывает)=p(1−q)1−(1−p)(1−q)=p(1−q)p+q−pq. \Pr(\text{первый выигрывает})=\frac{p(1-q)}{1-(1-p)(1-q)}=\frac{p(1-q)}{p+q-pq}.
Pr(первый выигрывает)=1−(1−p)(1−q)p(1−q) =p+q−pqp(1−q) . - Аналогично для второго:
Pr(второй выигрывает)=q(1−p)p+q−pq.\displaystyle \Pr(\text{второй выигрывает})=\frac{q(1-p)}{p+q-pq}.Pr(второй выигрывает)=p+q−pqq(1−p) . - Вероятность ничьей (оба получают орла в одном и том же раунде):
Pr(ничья)=pqp+q−pq.\displaystyle \Pr(\text{ничья})=\frac{pq}{p+q-pq}.Pr(ничья)=p+q−pqpq .
Пример (второй честен, q=12q=\tfrac12q=21 ): Pr(первый выигрывает)=pp+1.\displaystyle \Pr(\text{первый выигрывает})=\frac{p}{p+1}.Pr(первый выигрывает)=p+1p .
Короткое замечание о моделях зависимости.
- Если броски не синхронны (например, игроки бросают по очереди), формула меняется; приведённые выводы верны при условии независимых одновременных раундовых бросков.