Кратко: утверждение верно при стандартных гладкостных и связности домена — следуют из теорем Ролля и Лагранжа (среднее значение). При ослаблении условий есть контрпримеры.
Теоремы и допущения
- Теорема (Ролль / Лагранж). Если $f$ непрерывна на $[a,b]$, дифференцируема на $(a,b)$ и $f^{\prime }(x)=0$ для всех $x\in (a,b)$, то по теореме Лагранжа для любых $x,y\in [a,b]$ существует $c\in (x,y)$ с
$$f(y)-f(x)=(y-x)f^{\prime }(c)=0,$$ значит $f(y)=f(x)$, т.е. $f$ постоянна на $[a,b]$. Аналогично, если $f$ дифференцируема на интервале $I$ и $f^{\prime }(x)=0$ на всём $I$, то $f$ постоянна на этом интервале (интервал = связная область в $\mathbb{R}$).
- Альтернативный набор условий: если $f$ абсолютно непрерывна на $[a,b]$ и $f^{\prime }(x)=0$ почти везде на $[a,b]$, то по фундаментальной теореме интегрального исчисления $f$ постоянна.
Контрпримеры при ослаблении условий
1. Несвязный домен. Пусть $D=[0,1]\cup [2,3]$ и
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in [0,1],\\ 1,& x\in [2,3].\end{array}$$ На каждом компоненте производная равна $0$ внутри component, но $f$ не постоянна на $D$ в целом. Вывод: требуется связность (интервал).
2. Производная равна нулю почти везде, но функция не постоянна. Пример — функция Кантра (Devil’s staircase) $C(x)$: $C$ непрерывна, возрастает от $0$ до $1$, и $C^{\prime }(x)=0$ почти везде, однако $C$ не константа. Этот пример показывает, что условие «$f^{\prime }(x)=0$ почти везде» само по себе недостаточно; нужно, например, абсолютная непрерывность.
(Замечание: если потребовать абсолютной непрерывности или интегрируемости производной плюс $f^{\prime }(x)=0$ почти везде, то функция будет константой.)
Краткое резюме: при непрерывности на $[a,b]$ и дифференцируемости на $(a,b)$ утверждение верно (доказательство через теорему Лагранжа). При ослаблении условий (несвязный домен, «почти везде» вместо «всегда», отсутствие абсолютной непрерывности) утверждение может не выполняться (см. примеры выше).