Короткое утверждение и его доказательство.
1) Формулировка и стандартный довод.
- Рассматриваем только квадратные матрицы $A\in M_n(R)$ над полем (или вообще над коммутативным кольцом с единицей, $1\ne 0$).
- Если $A$ обратима, то существует $B$ такая, что $AB=I$. Тогда по мультипликативности определителя
$$\det (A)\det (B)=\det (I)=1,$$ поэтому $\det (A)$ является обратимым элементом (единицей) в кольце коэффициентов и, в частности, не равен нулю. Отсюда контрапозиция даёт: если $\det (A)=0$, то $A$ не обратима.
2) Альтернативное (линейно-алгебраическое) доказательство.
- $\det (A)=0$ эквивалентно линейной зависимости столбцов (или строк) матрицы. Значит существуют скалярные не все нулевые коэффициенты $x$ такие, что $Ax=0$. То есть ядро ненулевое, оператор неинъективен, а значит необратим.
3) Дополнительные эквивалентные свой­ства (для квадратной матрицы над полем):
- $\det (A)\ne 0$ $⟺$ столбцы (строки) линейно независимы.
- $⟺$ $\mathrm{rank}A=n$.
- $⟺$ $\ker A=\{0\}$.
- $⟺$ $0$ не является собственным числом $A$.
- $⟺$ существует обратная матрица $A^{-1}$.
4) Полезные тождества, которые используются:
- $\det (AB)=\det (A)\det (B)$.
- $A\mathrm{adj}A=\det (A)I$ (поэтому если $\det (A)$ — единица, то $A^{-1}=(\det A{)}^{-1}\mathrm{adj}A$).
5) Особые случаи, которые нужно отдельно учитывать.
- Матрицы над общим (некоммутативным) кольцом: формула с присоединённой матрицей и обратимость через определитель требует коммутативности коэффициентов.
- Кольцо вырожденное (нулевое кольцо, где $1=0$): тут понятие «обратимый элемент = единица» теряет смысл — такой случай обычно исключают.
- Прямоугольные матрицы: определитель не определён, у прямоугольной матрицы может быть левый или правый обратный (если, например, $m>n$ или $m<n$), но это отдельный анализ и не связано с определителем.
- Над целыми числами (или другими кольцами): для целочисленной обратимости необходима не просто $\det =\pm 1$ (т.е. единица в $\mathbb{Z}$); общее утверждение: над коммутативным кольцом $A$ обратима тогда и только тогда, когда $\det (A)$ — обратимый элемент кольца.
Итого: при обычной постановке (квадратная матрица над полем) доказательство через мультипликативность детерминанта или через линейную зависимость столбцов — оба корректны; из $\det (A)=0$ следует ненулевое ядро, ранг меньше $n$, наличие собственного значения $0$ и, следовательно, отсутствие обратной.