Краткий итог:
- Интеграл ${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$ сходится при всех $p>0$.
- Он сходится абсолютно тогда и только тогда, когда $p>1$. При $0<p\le 1$ — условная (за счёт осцилляций) сходимость.
Обоснование.
1) Абсолютная сходимость. Рассмотрим
${\int }_1^{\infty }\frac{|\sin x|}{x^p}dx$.
Периодичность синуса даёт ${\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }|\sin x|dx=2$. Поэтому для больших $N$ $${\int }_{N\pi }^{\infty }\frac{|\sin x|}{x^p}dx\ge \sum _{n\ge N}\frac{1}{((n+1)\pi {)}^p}{\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }|\sin x|dx=\frac{2}{{\pi }^p}\sum _{n\ge N}\frac{1}{(n+1{)}^p}.$$ Правая сумма дивергирует при $p\le 1$ и сходится при $p>1$. Следовательно абсолютная сходимость ⇔ $p>1$.
2) Условная сходимость для $0<p\le 1$ (и вообще сходимость при любых $p>0$). Применим критерий Дирихле для несобственных интегралов: если $F(X)={\int }_1^X\sin xdx$ ограничена по $X$ и $g(x)=x^{-p}$ монотонно убывает к нулю при $p>0$, то ${\int }_1^{\infty }\sin x{x}^{-p}dx$ сходится. Здесь $F(X)=-\cos X+\cos 1$ — явно ограничена, а $x^{-p}\to 0$ при $p>0$. Значит сходимость при всех $p>0$.
3) Оценки хвоста (о роли осцилляций). Интегрированием по частям:
$${\int }_1^X\frac{\sin x}{x^p}dx=[-x^{-p}\cos x{]}_1^X-p{\int }_1^X\frac{\cos x}{x^{p+1}}dx.$$ При $p>0$ первый член у бесконечности стремится к нулю; оставшийся интеграл по модулю оценивается через ${\int }_X^{\infty }{x}^{-p-1}dx=\frac{1}{p{X}^p}$. Отсюда для хвоста получаем оценку
∣∫X∞sin⁡xxp dx∣≤C X−p \left|\int_X^{\infty}\frac{\sin x}{x^p}\,dx\right|\le C\,X^{-p}
∫X∞ xpsinx dx ≤CX−p (константа $C$ зависит только от $p$). Эта оценка показывает, что осцилляции дают чудесную «компенсацию» и заставляют хвост убывать как $X^{-p}$, даже если $|\sin x|/x^p$ не интегрируется по модулю.
Роль осциллирующего числителя и выбор методов:
- Осцилляция ($\sin x$) обеспечивает накопительную компенсацию положительных и отрицательных вкладов; это позволяет получить сходимость при более медленном убывании амплитуды, чем требуется для абсолютной сходимости.
- Для проверки сходимости используют критерии, учитывающие осцилляции: критерий Дирихле, критерий Абеля, интегрирование по частям. Для абсолютной сходимости применяют сравнение с $\int 1/x^p$.
- Практически, при $p\le 1$ нельзя применять простое сравнение модулей; нужно использовать конструкции, которые учитывают ограниченность первообразной синуса или явную интегрирование по частям.