Обозначим длину отрезка $L$ и шаг разбиения $d=\frac{L}{n}$. Внутренние точки разбиения имеют координаты
$$x_i=a+id,i=1,\dots ,n-1,$$ где $a$ — координата левого конца. Требуется максимум числа индексов $i$ таких, что $x_i\in \mathbb{Z}$.
1) Если $d$ иррационально, то дробные части $\{id\}$ для разных $i$ все различны, поэтому уравнение $a+id\in \mathbb{Z}$ имеет не более одного решения по $i$. Следовательно максимум равен $1$ (его можно дости­нуть подбором $a$, когда один из $x_i$ попадает на целое).
2) Если $d$ рационально: $d=\frac{p}{q}$ в несокр. виде ($q\ge 2$), то значения $id(\mathrm{mod}1)$ периодичны с периодом $q$, и среди индексов $1,\dots ,n-1$ решения для $a+id\in \mathbb{Z}$ встречаются через каждые $q$ индексов. Максимально возможное число таких индексов равно
$$\lceil \frac{n-1}{q}\rceil .$$ (Для достижения этого достаточно сдвинуть $a$ так, чтобы один из классов по модулю $q$ давал целые точки.)
Связь с $L$: если $L=\frac{A}{B}$ несокр., то
$$d=\frac{L}{n}=\frac{A}{Bn},$$ и знаменатель $q$ при сокращении равен $q=\frac{Bn}{\gcd (A,Bn)}$. Итого максимум можно выразить через $L$ и $n$ через этот $q$.
В любом случае верны тривиальные оценки $0\le M\le n-1$; при иррациональном $d$ — $M\le 1$, при рациональном $d=p/q$ — $M\le \lceil (n-1)/q\rceil$. Примеры: если $d=1/2$ (т.е. $q=2$), то максимум $\lceil (n-1)/2\rceil$; если $d$ иррационально — максимум $1$.