Выбор метода зависит от формы уравнений, числа переменных и требуемой точности. Кратко — когда что применять и почему.
1) Подстановка (решение одной переменной через другую)
- Когда применять: система мала (обычно 2 уравнения, 2 неизвестных) и одно уравнение явно разрешимо относительно одной переменной, например $g(x,y)=0\Rightarrow y=\varphi (x)$.
- Как выглядит: подставляем $y=\varphi (x)$ в $f(x,y)$ и решаем одно уравнение $F(x)=f(x,\varphi (x))=0$.
- Плюсы: простота, возможность точного аналитического решения или одновариантной численной обработки; нет операций с якобианами.
- Минусы: не годится если явное разрешение невозможно или даёт громоздкие выражения; степень полинома может резко вырасти (комбинаторный взрыв).
- Подходит если нужна умеренная точность и формула разрешения есть.
2) Исключение переменных (алгебраические методы: результанты, метод Грёбнера, линейные комбинации)
- Когда применять: система алгебраических (многочленов) и требуется точное символическое решение или получение уравнения одного переменного; полезно для систем низкой степени и невеликого числа переменных.
- Плюсы: даёт точные корни (в理пригодных случаях), позволяет выявить кратность корней и структуру решения.
- Минусы: очень быстро растёт сложность и объём вычислений; громоздко для высоких степеней или большого числа переменных.
- Подходит если нужны точные/символические решения и размеры системы малы.
3) Метод Ньютона (для одной переменной или векторный метод)
- Когда применять: общие гладкие нелинейные системы (включая трансцендентные функции), требуются высокая точность или быстрый численный сходимость; особенно эффективно при многомерных системах и когда явных формул нет.
- Формула (векторная): $x^{(k+1)}=x^{(k)}-J^{-1}(x^{(k)})F(x^{(k)})$, где $J$ — якобиан, $F$ — вектор функций. В скалярном случае $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$.
- Свойства: локально квадратичная сходимость: $\Vert e_{k+1}\Vert \approx C\Vert e_k{\Vert }^2$ при невырожденном якобиане и близком начальном приближении.
- Минусы: требует вычисления/обратного решения системы с матрицей $J$ на каждой итерации (численная стоимость примерно $O(n^3)$ на итерацию для $n$ переменных), чувствителен к начальному приближению; может расходиться при плохом старте — применяют дампинг/линейный поиск/доверительную область.
- Подходит если нужна высокая точность и у вас хороший начальный приближ — предпочтителен для большинства численных задач.
Рекомендации по выбору
- Если одно уравнение легко разрешимо относительно одной переменной → подстановка.
- Если обе (все) функции — многочлены и нужно точное/символическое решение для малого числа переменных → исключение (результант/Грёбнер).
- Если функции общие (включая трансцендентные), много переменных или требуется высокая численная точность → метод Ньютона (или квазинилтон/модификации, если якобиан дорог/невозможен).
- Практика: по возможности упростите систему аналитически (подстановка, устранение тривиальных связей), затем применяйте численный метод (обычно Ньютона) для финальной уточнённой высокой точности. Вдобавок используйте глобализацию (дампинг/линейный поиск) при ненадёжном начальном приближении.
Критерии остановки для численных методов: норма невязки $\Vert F(x^{(k)})\Vert <\epsilon$ и/или изменение аргумента $\Vert x^{(k+1)}-x^{(k)}\Vert <\delta$, где $\epsilon ,\delta$ задают требуемую точность.