Краткий ответ: утверждение в общем ложно. Ниже — когда верно и контрпримеры.
Когда верно (достаточные условия)
- Равномерная сходимость на отрезке: если $f_n$ интегрируемы на $[a,b]$ и $f_n\to f$ равномерно, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n={\int }_a^{b}f,$$ и более строго ∣∫abfn−∫abf∣≤(b−a)sup⁡x∈[a,b]∣fn(x)−f(x)∣.\left|\int_a^b f_n-\int_a^b f\right|\le(b-a)\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|. ∫ab fn −∫ab f ≤(b−a)supx∈[a,b] ∣fn (x)−f(x)∣. - Теорема о доминированной сходимости (Лебег): если $f_n\to f$ почти всюду и существует интегрируемая функция $g$ такая, что $|f_n|\le g$ почти везде для всех $n$, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n=\int f.$$ - Монотонная теорема (Леви): если $0\le f_1\le f_2\le \cdots$ и $f_n\to f$ пунктово, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n=\int f.$$ - Частный случай (bounded convergence): если мера пространства конечна и $|f_n|\le M$ для всех $n$ и $f_n\to f$ почти всюду, то результат следует из доминированной теоремы.
Также достаточное (но сильнее) условие: сходимость в $L^1$, то есть $\int |f_n-f|\to 0$, влечёт $\int f_n\to \int f$.
Контрпримеры (показывают, что точечная сходимость сама по себе не достаточна)
1) «Шпильки» на $[0,1]$:
$$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}n,& x\in (0,\frac{1}{n}],\\ 0,& \text{иначе.}\end{array}$$ Тогда для каждого фиксированного $x\in [0,1]$ имеем $f_n(x)\to 0$, но
$${\int }_0^1{f}_n(x)dx=n\cdot \frac{1}{n}=1\text{для всех}n,$$ значит $\lim \int f_n=1\ne 0={\int }_0^{1}0$.
2) Пространство с бесконечной мерой (движущийся интервал):
на $\mathbb{R}$ положим $f_n={\chi }_{[n,n+1]}$. Тогда $f_n(x)\to 0$ для каждого фиксированного $x$, но ${\int }_{\mathbb{R}}{f}_n=1$ для всех $n$. Это показывает, что даже при точечной сходимости к нулю интегралы не обязаны стремиться к нулю, если нет дополнительного контроля над $f_n$.
Замечания
- Контрпримеры легко модифицировать так, чтобы $f_n$ были непрерывны (плавные «шпильки»), так что требование только интегрируемости и точечной сходимости недостаточно.
- В формулировках для Лебега важно «почти везде»; поведение на множестве меры ноль не влияет на интегралы.
Итого: точечная сходимость сама по себе не гарантирует сходимость интегралов. Нужны дополнительные условия: доминирование, монотонность, равномерность (или сходимость в $L^1$).