Ниже три разных подхода с формулами и коротким обоснованием. Все обозначения: $A,B,C,P$ — точки в евклидовом плане, $X$ — вектор положения точки $X$.
1) Векторный (координатный) метод
- Площадь произвольного треугольника $XYZ$ через векторный (двойной) векторный произведение / детерминант:
[XYZ]=12∣(Y⃗−X⃗)×(Z⃗−X⃗)∣. [XYZ]=\frac12\big|(\vec Y-\vec X)\times(\vec Z-\vec X)\big|.
[XYZ]=21 (Y−X)×(Z−X) . В декартовых координатах $X(x_X,y_X)$ и т.д.:
2[XYZ]=∣det⁡(xY−xXxZ−xXyY−yXyZ−yX)∣. 2[XYZ]=\left|\det\begin{pmatrix}x_Y-x_X & x_Z-x_X\\[2pt] y_Y-y_X & y_Z-y_X\end{pmatrix}\right|.
2[XYZ]= det(xY −xX yY −yX xZ −xX yZ −yX ) . - Применение к нужным треугольникам:
[PAB]=12∣(A⃗−P⃗)×(B⃗−P⃗)∣,[PBC]=12∣(B⃗−P⃗)×(C⃗−P⃗)∣,[PCA]=12∣(C⃗−P⃗)×(A⃗−P⃗)∣. [PAB]=\tfrac12\big|(\vec A-\vec P)\times(\vec B-\vec P)\big|,\quad
[PBC]=\tfrac12\big|(\vec B-\vec P)\times(\vec C-\vec P)\big|,\quad
[PCA]=\tfrac12\big|(\vec C-\vec P)\times(\vec A-\vec P)\big|.
[PAB]=21 (A−P)×(B−P) ,[PBC]=21 (B−P)×(C−P) ,[PCA]=21 (C−P)×(A−P) . - Обоснование: площадь — линейная функция от координат вершин, выражается детерминантом.
2) Через barycentric coordinates (барицентрические координаты)
- Определение: пусть
$$P=\alpha A+\beta B+\gamma C,\alpha +\beta +\gamma =1.$$ Координаты $\alpha ,\beta ,\gamma$ называются барицентрическими относительно $A,B,C$.
- Связь с площадями: так как площадь линейна по вершине, при замене вершины $A$ на $P=\alpha A+\dots$ получаем
$$[PBC]=\alpha [ABC],[PCA]=\beta [ABC],[PAB]=\gamma [ABC].$$ Иначе:
$$\alpha =\frac{[PBC]}{[ABC]},\beta =\frac{[PCA]}{[ABC]},\gamma =\frac{[PAB]}{[ABC]}.$$ - Как вычислить $\alpha ,\beta ,\gamma$ из координат: например
$$\alpha =\frac{\det (B-P,C-P)}{\det (B-A,C-A)},$$ и аналогично для $\beta ,\gamma$ (в абсолютных величинах для положительных площадей). Это даёт непосредственно нужные площади через умножение на $[ABC]$.
- Обоснование: линейность площади по одной вершине и свойство барицентрических координат.
3) Через отношения сторон / расстояний до сторон / тригонометрию
- Через расстояния до сторон (удобно, если известны перпендикулярные расстояния):
для базы $BC$ $$[PBC]=\frac{1}{2}|BC|\cdot d(P,BC),[ABC]=\frac{1}{2}|BC|\cdot d(A,BC),$$ следовательно
$$\frac{[PBC]}{[ABC]}=\frac{d(P,BC)}{d(A,BC)}.$$ Расстояние от точки $P$ до прямой $BC$ через векторное произведение:
$$d(P,BC)=\frac{|(C-B)\times (P-B)|}{|C-B|},$$ отсюда снова получаем числовую формулу для площади, эквивалентную векторной: $[PBC]=\frac{1}{2}|(C-B)\times (P-B)|$.
- Через длины сторон и углы (тригонометрия):
если известны $PA,PB,PC$ и углы при $P$, то
$$[PAB]=\frac{1}{2}PA\cdot PB\sin \angle APB,[PBC]=\frac{1}{2}PB\cdot PC\sin \angle BPC,[PCA]=\frac{1}{2}PC\cdot PA\sin \angle CPA.$$ - Через отношения отрезков на сторонах (mass points/cevians): если через $P$ проходят цевианы, пересекающие стороны в $D\in BC,E\in CA,F\in AB$, и известны отношения $BD:DC,CE:EA,AF:FB$, то площади смежных маленьких треугольников связаны этими отношениями (массы). Формула общего вида: например, если известен $BD:DC=r$, то относительная доля площади, приходящаяся на вершину $A$ в барицентрических координатах, может быть выражена через сочетание таких отношений (метод mass points). (Детали зависят от конкретных данных.)
Когда использовать:
- Если даны координаты — векторный/детерминантный способ самый простой.
- Если хотите выразить площади через веса/долі — барицентрические координаты идеальны: $[PBC]=\alpha [ABC]$ и т.д.
- Если известны расстояния до сторон или стороны/углы вокруг $P$ — используйте формулы через высоты или тригонометрию.
Если нужно, могу привести конкретный числовой пример (координаты точек или отношения) и показать пошаговый расчёт.