Приведу классическое «доказательство» и укажу ошибку.
Пусть $a=b$.
1. $a=b$.
2. Умножим на $a$: $a^2=ab$.
3. Вычтем $b^2$: $a^2-b^2=ab-b^2$.
4. Сверху факторизуем: $(a-b)(a+b)=b(a-b)$.
5. Умножим/разделим на $(a-b)$ и получим $a+b=b$.
6. Подставляя $a=b$: $b+b=b\Rightarrow 2b=b$.
7. Делим на $b$ (предполагая $b\ne 0$): $2=1$.
Где ошибка: шаг 5 недопустим, потому что из предположения $a=b$ следует $a-b=0$. Деление на $(a-b)$ — деление на ноль — запрещено, поэтому переход от $(a-b)(a+b)=b(a-b)$ к $a+b=b$ не является корректным. На самом деле при $a=b$ равенство в шаге 4 даёт $0=0$, что ничего нового не даёт.
Как обнаруживать такие тонкие допущения:
- Проверяйте, не делится ли на ноль выражение, которое вы сокращаете. Перед сокращением фактора $(X)$ убедитесь, что из начальных условий не следует $X=0$.
- Следите за неявными делениями: факторизация с последующим «сокращением» эквивалентна делению на этот множитель.
- Подставьте конкретные значения, удовлетворяющие предположениям (например, $a=b=1$) и проверьте, все ли шаги остаются допустимы; если на каком-то шаге появляется «деление на 0», это видно по вычислению.
- Думайте в терминах логических эквивалентностей: операции должны сохранять равенство в обе стороны; деление на ноль не обратимо и разрушает эквивалентность.
- Особые случаи: извлечение корня даёт ±, деление на выражения, зависящие от переменных, требует проверки на ноль, умножение на ноль может замаскировать потерю информации.
Итог: ошибка — деление на ноль в шаге сокращения множителя $(a-b)$. Следствие $2=1$ неверно.