Рассмотрим ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}$.
1) Применимый тест — признак Лейбница (альтернирующий ряд): положительная последовательность $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ монотонно убывает и стремится к нулю:
$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\searrow 0$.
По признаку Лейбница ряд сходится.
2) Абсолютная сходимость: ряд модулей
∑n=1∞∣(−1)n+1n∣=∑n=1∞1n=∑n=1∞n−1/2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^\infty n^{-1/2}n=1∑∞ n (−1)n+1 =n=1∑∞ n 1 =n=1∑∞ n−1/2 — это $p$-ряд с $p=\frac{1}{2}\le 1$, значит расходится (или по интегральному признаку). Следовательно исходный ряд сходится условно, но не абсолютно.
3) Оценка остатка: для частичной суммы $S_N$ остаток $R_N=S-S_N$ удовлетворяет неравенству
$|R_N|\le a_{N+1}=\frac{1}{\sqrt{N+1}}$,
то есть погрешность порядка $O(N^{-1/2})$.
Итог: ряд сходится условно (по Лейбницу), не абсолютно; остаток оценивается выше указанным образом.