Коротко — последствия det(A)=0 и пояснения.
Основные выводы
- det(A)=0 ⇔ A сингулярна, т.е. не обратима в обычном смысле: $A^{-1}$ не существует.
- Ядро ненулевое: $\ker (A)\ne \{0\}$. По формуле ранга и нулевости
$$\mathrm{rank}(A)+\dim \ker (A)=n,$$ поэтому $\dim \ker (A)\ge 1$ и $\mathrm{rank}(A)\le n-1$.
- Нулевой корень характеристического многочлена: $0$ — собственное значение $A$. Алгебраическая кратность нуля равна как минимум 1; геометрическая кратность равна $\dim \ker (A)$ и удовлетворяет
$$1\le \dim \ker (A)\le \text{(алг. кратность 0)}\le n.$$ - Произведение собственных значений (с учётом кратностей) равно детерминанту, откуда следует наличие нулевого собственного значения:
$$\det (A)=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=0.$$
Конкретные примеры
- Нулевая матрица: $A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$. Тогда $\mathrm{rank}(A)=0$, все собственные значения равны $0$.
- Диагональная с одним нулём: A=(000010002)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}A= 000 010 002 . Тогда $\mathrm{rank}(A)=2$, собственные значения $0,1,2$.
- Ранг 1 (внешнее произведение): $A=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Тогда $\mathrm{rank}(A)=1$, собственные значения $2,0$.
- Жорданов блок (нильпотент): J=(010001000)\displaystyle J=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}J= 000 100 010 . Тогда $\det J=0$, все собственные значения $0$, $\mathrm{rank}(J)=2$ (если $n=3$); $J^n=0$.
Граничные случаи и дополнительные замечания
- Максимальный возможный ранг при $\det (A)=0$ равен $n-1$. Пример: диагональная матрица с ровно одним нулём.
- Минимальный ранг — $0$ (нулевая матрица).
- Если нулю как собственному значению соответствует геометрическая кратность $k$, то $\mathrm{rank}(A)=n-k$.
- Если нулевая алгебраическая кратность равна $n$, то характеристический многочлен $x^n$: все собственные значения нулевые (матрица нильпотентна). Если дополнительно геометрическая кратность равна $n$, то матрица равна нулю.
- Отсутствие обратимости не исключает существования обобщённого (например, псевдо)обратного $A^{+}$ — но это не обратимый оператор в обычном смысле.
- Все утверждения верны над любым полем (например, над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$).
Таким образом: $\det (A)=0$ ⇔ $A$ сингулярна, $\mathrm{rank}(A)\le n-1$, нулю соответствует по крайней мере одно собственное значение; конкретные случаи варьируются от полного обнуления (ранг 0) до одной нулевой оси (ранг $n-1$).